Theorem wrdeqs1cat 13474

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2		1nn0 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0elfz 12436	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...1))
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0...1))
5		wrdfin 13323	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 ∈ Fin)
6		1elfz0hash 13179	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
7	5, 6	sylan 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
8		lennncl 13325	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 11351	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		eluzfz2 12349	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
11		nn0uz 11722	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleq2s 2719	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
14		ccatswrd 13456	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
15	1, 4, 7, 13, 14	syl13anc 1328	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
16		0p1e1 11132	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
17	16	opeq2i 4406	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (0 + 1)⟩ = ⟨0, 1⟩
18	17	oveq2i 6661	. . . 4 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩)
19		0nn0 11307	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ ℕ0)
21		hashgt0 13177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 < (#‘𝑊))
22		elfzo0 12508	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 0 < (#‘𝑊)))
23	20, 8, 21, 22	syl3anbrc 1246	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
24		swrds1 13451	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
25	23, 24	syldan 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
26	18, 25	syl5eqr 2670	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
27	26	oveq1d 6665	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))
28		swrdid 13428	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
29	28	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
30	15, 27, 29	3eqtr3rd 2665	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293  ⟨“cs1 13294   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303

This theorem is referenced by: (None)