Theorem wrdeqs1cat 13474

Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1cat	|- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , ( # ` W ) >. ) ) )

Proof of Theorem wrdeqs1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W e. Word A )
2		1nn0 11308	. . . 4 |- 1 e. NN0
3		0elfz 12436	. . . 4 |- ( 1 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> 0 e. ( 0 ... 1 ) )
5		wrdfin 13323	. . . 4 |- ( W e. Word A -> W e. Fin )
6		1elfz0hash 13179	. . . 4 |- ( ( W e. Fin /\ W =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
7	5, 6	sylan 488	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> 1 e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
8		lennncl 13325	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( # ` W ) e. NN )
9	8	nnnn0d 11351	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( # ` W ) e. NN0 )
10		eluzfz2 12349	. . . . 5 |- ( ( # ` W ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( # ` W ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
11		nn0uz 11722	. . . . 5 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
12	10, 11	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( ( # ` W ) e. NN0 -> ( # ` W ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
13	9, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( # ` W ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
14		ccatswrd 13456	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ ( 0 e. ( 0 ... 1 ) /\ 1 e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( # ` W ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) ) -> ( ( W substr <. 0 , 1 >. ) ++ ( W substr <. 1 , ( # ` W ) >. ) ) = ( W substr <. 0 , ( # ` W ) >. ) )
15	1, 4, 7, 13, 14	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( ( W substr <. 0 , 1 >. ) ++ ( W substr <. 1 , ( # ` W ) >. ) ) = ( W substr <. 0 , ( # ` W ) >. ) )
16		0p1e1 11132	. . . . . 6 |- ( 0 + 1 ) = 1
17	16	opeq2i 4406	. . . . 5 |- <. 0 , ( 0 + 1 ) >. = <. 0 , 1 >.
18	17	oveq2i 6661	. . . 4 |- ( W substr <. 0 , ( 0 + 1 ) >. ) = ( W substr <. 0 , 1 >. )
19		0nn0 11307	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> 0 e. NN0 )
21		hashgt0 13177	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> 0 < ( # ` W ) )
22		elfzo0 12508	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( 0 e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ 0 < ( # ` W ) ) )
23	20, 8, 21, 22	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> 0 e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
24		swrds1 13451	. . . . 5 |- ( ( W e. Word A /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( W substr <. 0 , ( 0 + 1 ) >. ) = <" ( W ` 0 ) "> )
25	23, 24	syldan 487	. . . 4 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. 0 , ( 0 + 1 ) >. ) = <" ( W ` 0 ) "> )
26	18, 25	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. 0 , 1 >. ) = <" ( W ` 0 ) "> )
27	26	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( ( W substr <. 0 , 1 >. ) ++ ( W substr <. 1 , ( # ` W ) >. ) ) = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , ( # ` W ) >. ) ) )
28		swrdid 13428	. . 3 |- ( W e. Word A -> ( W substr <. 0 , ( # ` W ) >. ) = W )
29	28	adantr 481	. 2 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> ( W substr <. 0 , ( # ` W ) >. ) = W )
30	15, 27, 29	3eqtr3rd 2665	1 |- ( ( W e. Word A /\ W =/= (/) ) -> W = ( <" ( W ` 0 ) "> ++ ( W substr <. 1 , ( # ` W ) >. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303

This theorem is referenced by: (None)