Theorem wwlksnextproplem1 26804

Description: Lemma 1 for wwlksnextprop 26807. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jul-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextproplem1	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem wwlksnextproplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp2 26752	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)))
2		0zd 11389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
5	2, 4	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
6		1z 11407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℤ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
8	7, 7	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
9	5, 8	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)))
10	9	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)))
11		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
12		nn0fz0 12437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁))
13	12	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
14	11, 13	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
16		elfz3 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (1...1))
17	6, 16	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ (1...1))
18	15, 17	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 1 ∈ (1...1)))
19		fzadd2 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 1 ∈ (1...1)) → (𝑁 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1))))
20	10, 18, 19	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1)))
21		1e0p1 11552	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 = (0 + 1))
23		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
24	22, 23	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...(#‘𝑊)) = ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1)))
25	20, 24	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))
26	25	ex 450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
27		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
28	26, 27	jctild 566	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
29	1, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
30		wwlksnextprop.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
31	29, 30	eleq2s 2719	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
32	31	imp 445	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
33		swrd0fv0 13440	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
34	32, 33	syl 17	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ...cfz 12326  #chash 13117  Word cword 13291   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874   WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-substr 13303  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  26806  wwlksnextprop  26807