Theorem leadd1dd 10641

Description: Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
leadd1dd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
leadd1dd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Proof of Theorem leadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leadd1dd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	leadd1d 10621	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶)))
6	1, 5	mpbid 222	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝐵 + 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   + caddc 9939   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  lesub3d  10645  supaddc  10990  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem5OLD  11824  xleadd1a  12083  fzoaddel  12520  fladdz  12626  ltdifltdiv  12635  bernneq3  12992  caucvgrlem  14403  eirrlem  14932  vdwlem3  15687  vdwlem9  15693  vdwlem10  15694  2expltfac  15799  pcoass  22824  trirn  23183  minveclem2  23197  ovolfiniun  23269  ovolshftlem1  23277  unmbl  23305  uniioombllem5  23355  opnmbllem  23369  vitalilem2  23378  itg2split  23516  dvfsumlem2  23790  dvfsumlem4  23792  dvfsum2  23797  fta1glem2  23926  coemullem  24006  fta1lem  24062  leibpi  24669  log2tlbnd  24672  jensenlem2  24714  harmonicubnd  24736  harmonicbnd4  24737  lgamgulmlem5  24759  lgambdd  24763  ppiub  24929  bcmono  25002  bposlem5  25013  mulog2sumlem2  25224  selberg2lem  25239  chpdifbndlem1  25242  pntrlog2bndlem2  25267  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntlemg  25287  pntlemk  25295  pntlemo  25296  qabvle  25314  ostth2lem3  25324  minvecolem2  27731  nndiffz1  29548  reofld  29840  dya2icoseg  30339  resconn  31228  poimirlem15  33424  opnmbllem0  33445  itg2addnclem3  33463  bfplem2  33622  pellexlem2  37394  rmygeid  37531  jm3.1lem2  37585  fzisoeu  39514  absnpncan2d  39516  absnpncan3d  39521  leadd12dd  39532  iccshift  39744  fsumnncl  39803  climsuselem1  39839  sumnnodd  39862  climleltrp  39908  dvbdfbdioolem2  40144  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  dvnmul  40158  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  itgiccshift  40196  itgperiod  40197  stoweidlem1  40218  stoweidlem11  40228  stoweidlem14  40231  stoweidlem26  40243  stoweidlem44  40261  stirlinglem11  40301  fourierdlem10  40334  fourierdlem11  40335  fourierdlem15  40339  fourierdlem30  40354  fourierdlem42  40366  fourierdlem68  40391  fourierdlem79  40402  fourierdlem92  40415  sge0xaddlem1  40650  carageniuncllem2  40736  hoidmv1lelem1  40805  ovolval5lem1  40866  smfmullem1  40998