Theorem dvdsbnd 10348

Description: There is an upper bound to the divisors of a nonzero integer. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem dvdsbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 8470	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	abscld 10067	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4		arch 8285	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
6	3	ad3antrrr 475	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7		simpllr 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
8	7	nnred 8052	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
9		eluzelz 8628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
10	9	adantl 271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
11	10	zred 8469	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
12		simplr 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑛)
13		eluzle 8631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑛 ≤ 𝑚)
14	13	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑚)
15	6, 8, 11, 12, 14	ltletrd 7527	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑚)
16		zabscl 9972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
17	16	ad4antr 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
18		zltnle 8397	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
19	17, 10, 18	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
20	15, 19	mpbid 145	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴))
21	1	ad3antrrr 475	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		simplr 496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
23	22	ad2antrr 471	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐴 ≠ 0)
24		dvdsleabs 10245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑚 ∥ 𝐴 → 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
25	24	con3d 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
26	10, 21, 23, 25	syl3anc 1169	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
27	20, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)
28	27	ralrimiva 2434	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)
29	28	ex 113	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) < 𝑛 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
30	29	reximdva 2463	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
31	5, 30	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 919   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245  ∀wral 2348  ∃wrex 2349   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  ℝcr 6980  0cc0 6981   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℕcn 8039  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  abscabs 9883   ∥ cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  gcdsupex  10349  gcdsupcl  10350