Theorem clim2iser 10175

Description: The limit of an infinite series with an initial segment removed. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2ser.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2ser.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
clim2iser	⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (𝐴 − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2iser

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2081	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
2		clim2ser.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		clim2ser.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	syl6eleq 2171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 8671	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzelz 8628	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9		clim2ser.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
10		eluzel2 8624	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	4, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		clim2ser.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	3, 11, 12	iserf 9453	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):𝑍⟶ℂ)
14	13, 2	ffvelrnd 5324	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ ℂ)
15		iseqex 9433	. . 3 ⊢ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ) ∈ V
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ) ∈ V)
17	13	adantr 270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):𝑍⟶ℂ)
18	6, 3	syl6eleqr 2172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
19	3	uztrn2 8636	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
20	18, 19	sylan 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
21	17, 20	ffvelrnd 5324	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ∈ ℂ)
22		addcl 7098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
23	22	adantl 271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
24		addass 7103	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
25	24	adantl 271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
26		simpr 108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
27		cnex 7097	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ℂ ∈ V)
29	4	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30	3	eleq2i 2145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	30, 12	sylan2br 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
32	31	adantlr 460	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
33	23, 25, 26, 28, 29, 32	iseqsplit 9458	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗)))
34	33	oveq1d 5547	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)) = (((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
35	14	adantr 270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ∈ ℂ)
36	3	uztrn2 8636	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
37	18, 36	sylan 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
38	37, 12	syldan 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
39	1, 8, 38	iserf 9453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ):(ℤ≥‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
40	39	ffvelrnda 5323	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ∈ ℂ)
41	35, 40	pncan2d 7421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗)) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗))
42	34, 41	eqtr2d 2114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))
43	1, 8, 9, 14, 16, 21, 42	climsubc1 10170	1 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹, ℂ) ⇝ (𝐴 − (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  Vcvv 2601   class class class wbr 3785  ⟶wf 4918  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  1c1 6982   + caddc 6984   − cmin 7279  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  seqcseq 9431   ⇝ cli 10117

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-rp 8735  df-fz 9030  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-clim 10118

This theorem is referenced by:  iiserex  10177