Theorem sqnprm 10517

Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqnprm	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Proof of Theorem sqnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8355	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		absresq 9964	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
5	2	recnd 7147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	abscld 10067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 7147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqvald 9602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
9	4, 8	eqtr3d 2115	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
10		simpr 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ ℙ)
11	9, 10	eqeltrrd 2156	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
12		nn0abscl 9971	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 8467	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
15		sq1 9569	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
16		prmuz2 10512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℙ → (𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
17	16	adantl 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
18		eluz2b1 8688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑2)))
19	18	simprbi 269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	17, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (𝐴↑2))
21	20, 4	breqtrrd 3811	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < ((abs‘𝐴)↑2))
22	15, 21	syl5eqbr 3818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2))
23	5	absge0d 10070	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
24		1re 7118	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		0le1 7585	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
26		lt2sq 9549	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
27	24, 25, 26	mpanl12 426	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
28	6, 23, 27	syl2anc 403	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
29	22, 28	mpbird 165	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (abs‘𝐴))
30		eluz2b1 8688	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 < (abs‘𝐴)))
31	14, 29, 30	sylanbrc 408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
32		nprm 10505	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
33	31, 31, 32	syl2anc 403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
34	11, 33	pm2.65da 619	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154  2c2 8089  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  ℤ_≥cuz 8619  ↑cexp 9475  abscabs 9883  ℙcprime 10489

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095  ax-caucvg 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-if 3352  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-1o 6024  df-2o 6025  df-er 6129  df-en 6245  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-3 8099  df-4 8100  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-q 8705  df-rp 8735  df-iseq 9432  df-iexp 9476  df-cj 9729  df-re 9730  df-im 9731  df-rsqrt 9884  df-abs 9885  df-dvds 10196  df-prm 10490

This theorem is referenced by: (None)