Theorem aomclem6 37629

Description: Lemma for dfac11 37632. Transfinite induction, close over z. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aomclem6.b	|- B = { <. a , b >. | E. c e. ( R1 ` U. dom z ) ( ( c e. b /\ -. c e. a ) /\ A. d e. ( R1 ` U. dom z ) ( d ( z ` U. dom z ) c -> ( d e. a <-> d e. b ) ) ) }
aomclem6.c	|- C = ( a e. _V |-> sup ( ( y ` a ) , ( R1 ` dom z ) , B ) )
aomclem6.d	|- D = recs ( ( a e. _V |-> ( C ` ( ( R1 ` dom z ) \ ran a ) ) ) )
aomclem6.e	|- E = { <. a , b >. | |^| ( `' D " { a } ) e. |^| ( `' D " { b } ) }
aomclem6.f	|- F = { <. a , b >. | ( ( rank ` a ) _E ( rank ` b ) \/ ( ( rank ` a ) = ( rank ` b ) /\ a ( z ` suc ( rank ` a ) ) b ) ) }
aomclem6.g	|- G = ( if ( dom z = U. dom z , F , E ) i^i ( ( R1 ` dom z ) X. ( R1 ` dom z ) ) )
aomclem6.h	|- H = recs ( ( z e. _V |-> G ) )
aomclem6.a	|- ( ph -> A e. On )
aomclem6.y	|- ( ph -> A. a e. ~P ( R1 ` A ) ( a =/= (/) -> ( y ` a ) e. ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
aomclem6	|- ( ph -> ( H ` A ) We ( R1 ` A ) )

Distinct variable groups:   y, z, a, b, c, d   ph, a, b, c, d, z   C, a, b, c, d   D, a, b, c, d   A, a, b, c, d, z   H, a, b, c, d, z   G, d

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   B( y, z, a, b, c, d)   C( y, z)   D( y, z)   E( y, z, a, b, c, d)   F( y, z, a, b, c, d)   G( y, z, a, b, c)   H( y)

Proof of Theorem aomclem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. 2 |- A C_ A
2		aomclem6.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
3	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> A e. On )
4		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( c = d -> ( c C_ A <-> d C_ A ) )
5	4	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( c = d -> ( ( ph /\ c C_ A ) <-> ( ph /\ d C_ A ) ) )
6		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( c = d -> ( H ` c ) = ( H ` d ) )
7		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( c = d -> ( R1 ` c ) = ( R1 ` d ) )
8	6, 7	weeq12d 37610	. . . . 5 |- ( c = d -> ( ( H ` c ) We ( R1 ` c ) <-> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) )
9	5, 8	imbi12d 334	. . . 4 |- ( c = d -> ( ( ( ph /\ c C_ A ) -> ( H ` c ) We ( R1 ` c ) ) <-> ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) ) )
10		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( c = A -> ( c C_ A <-> A C_ A ) )
11	10	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( c = A -> ( ( ph /\ c C_ A ) <-> ( ph /\ A C_ A ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( c = A -> ( H ` c ) = ( H ` A ) )
13		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( c = A -> ( R1 ` c ) = ( R1 ` A ) )
14	12, 13	weeq12d 37610	. . . . 5 |- ( c = A -> ( ( H ` c ) We ( R1 ` c ) <-> ( H ` A ) We ( R1 ` A ) ) )
15	11, 14	imbi12d 334	. . . 4 |- ( c = A -> ( ( ( ph /\ c C_ A ) -> ( H ` c ) We ( R1 ` c ) ) <-> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( H ` A ) We ( R1 ` A ) ) ) )
16		aomclem6.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = { <. a , b >. | E. c e. ( R1 ` U. dom z ) ( ( c e. b /\ -. c e. a ) /\ A. d e. ( R1 ` U. dom z ) ( d ( z ` U. dom z ) c -> ( d e. a <-> d e. b ) ) ) }
17		aomclem6.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- C = ( a e. _V |-> sup ( ( y ` a ) , ( R1 ` dom z ) , B ) )
18		aomclem6.d	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D = recs ( ( a e. _V |-> ( C ` ( ( R1 ` dom z ) \ ran a ) ) ) )
19		aomclem6.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = { <. a , b >. | |^| ( `' D " { a } ) e. |^| ( `' D " { b } ) }
20		aomclem6.f	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F = { <. a , b >. | ( ( rank ` a ) _E ( rank ` b ) \/ ( ( rank ` a ) = ( rank ` b ) /\ a ( z ` suc ( rank ` a ) ) b ) ) }
21		aomclem6.g	. . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( if ( dom z = U. dom z , F , E ) i^i ( ( R1 ` dom z ) X. ( R1 ` dom z ) ) )
22		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( H |` c ) -> dom z = dom ( H |` c ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> dom z = dom ( H |` c ) )
24		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> c e. On )
25		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c e. On -> c C_ On )
26		aomclem6.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- H = recs ( ( z e. _V |-> G ) )
27	26	tfr1 7493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H Fn On
28		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( H Fn On /\ c C_ On ) -> ( H |` c ) Fn c )
29	27, 28	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c C_ On -> ( H |` c ) Fn c )
30		fndm 5990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( H |` c ) Fn c -> dom ( H |` c ) = c )
31	24, 25, 29, 30	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> dom ( H |` c ) = c )
32	23, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> dom z = c )
33	32, 24	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> dom z e. On )
34	32	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> ( a e. dom z <-> a e. c ) )
35	34	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> a e. c )
36		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) )
37		simpl3l 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> ph )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> ph )
39		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( dom z e. On -> ( a e. dom z -> a C_ dom z ) )
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> ( a e. dom z -> a C_ dom z ) )
41	40	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> a C_ dom z )
42		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> c C_ A )
43	32, 42	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> dom z C_ A )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> dom z C_ A )
45	41, 44	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> a C_ A )
46		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d = a -> ( d C_ A <-> a C_ A ) )
47	46	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = a -> ( ( ph /\ d C_ A ) <-> ( ph /\ a C_ A ) ) )
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d = a -> ( H ` d ) = ( H ` a ) )
49		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d = a -> ( R1 ` d ) = ( R1 ` a ) )
50	48, 49	weeq12d 37610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d = a -> ( ( H ` d ) We ( R1 ` d ) <-> ( H ` a ) We ( R1 ` a ) ) )
51	47, 50	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( d = a -> ( ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) <-> ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( H ` a ) We ( R1 ` a ) ) ) )
52	51	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. c /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) ) -> ( ( ph /\ a C_ A ) -> ( H ` a ) We ( R1 ` a ) ) )
53	52	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. c /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) ) /\ ( ph /\ a C_ A ) ) -> ( H ` a ) We ( R1 ` a ) )
54	35, 36, 38, 45, 53	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> ( H ` a ) We ( R1 ` a ) )
55		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( H |` c ) -> ( z ` a ) = ( ( H |` c ) ` a ) )
56	55	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> ( z ` a ) = ( ( H |` c ) ` a ) )
57		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a e. c -> ( ( H |` c ) ` a ) = ( H ` a ) )
58	35, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> ( ( H |` c ) ` a ) = ( H ` a ) )
59	56, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> ( z ` a ) = ( H ` a ) )
60		weeq1 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z ` a ) = ( H ` a ) -> ( ( z ` a ) We ( R1 ` a ) <-> ( H ` a ) We ( R1 ` a ) ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> ( ( z ` a ) We ( R1 ` a ) <-> ( H ` a ) We ( R1 ` a ) ) )
62	54, 61	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) /\ a e. dom z ) -> ( z ` a ) We ( R1 ` a ) )
63	62	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> A. a e. dom z ( z ` a ) We ( R1 ` a ) )
64	37, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> A e. On )
65		aomclem6.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. a e. ~P ( R1 ` A ) ( a =/= (/) -> ( y ` a ) e. ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
66	37, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> A. a e. ~P ( R1 ` A ) ( a =/= (/) -> ( y ` a ) e. ( ( ~P a i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
67	16, 17, 18, 19, 20, 21, 33, 63, 64, 43, 66	aomclem5 37628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> G We ( R1 ` dom z ) )
68	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> ( R1 ` dom z ) = ( R1 ` c ) )
69		weeq2 5103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R1 ` dom z ) = ( R1 ` c ) -> ( G We ( R1 ` dom z ) <-> G We ( R1 ` c ) ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> ( G We ( R1 ` dom z ) <-> G We ( R1 ` c ) ) )
71	67, 70	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) /\ z = ( H |` c ) ) -> G We ( R1 ` c ) )
72	71	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) -> ( z = ( H |` c ) -> G We ( R1 ` c ) ) )
73	72	alrimiv 1855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) -> A. z ( z = ( H |` c ) -> G We ( R1 ` c ) ) )
74		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ d ( z = ( H |` c ) -> G We ( R1 ` c ) )
75		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z d = ( H |` c )
76		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z [. d / z ]. G We ( R1 ` c )
77	75, 76	nfim 1825	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( d = ( H |` c ) -> [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) )
78		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = d -> ( z = ( H |` c ) <-> d = ( H |` c ) ) )
79		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = d -> ( G We ( R1 ` c ) <-> [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) ) )
80	78, 79	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = d -> ( ( z = ( H |` c ) -> G We ( R1 ` c ) ) <-> ( d = ( H |` c ) -> [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) ) ) )
81	74, 77, 80	cbval 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z ( z = ( H |` c ) -> G We ( R1 ` c ) ) <-> A. d ( d = ( H |` c ) -> [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) ) )
82	73, 81	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) -> A. d ( d = ( H |` c ) -> [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) ) )
83		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . 10 |- F/ d [. ( H |` c ) / d ]. [. d / z ]. G We ( R1 ` c )
84		fnfun 5988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( H Fn On -> Fun H )
85	27, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Fun H
86		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- c e. _V
87		resfunexg 6479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun H /\ c e. _V ) -> ( H |` c ) e. _V )
88	85, 86, 87	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( H |` c ) e. _V
89		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( H |` c ) -> ( [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) <-> [. ( H |` c ) / d ]. [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) ) )
90	83, 88, 89	ceqsal 3232	. . . . . . . . 9 |- ( A. d ( d = ( H |` c ) -> [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) ) <-> [. ( H |` c ) / d ]. [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) )
91	82, 90	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) -> [. ( H |` c ) / d ]. [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) )
92		sbcco 3458	. . . . . . . 8 |- ( [. ( H |` c ) / d ]. [. d / z ]. G We ( R1 ` c ) <-> [. ( H |` c ) / z ]. G We ( R1 ` c ) )
93	91, 92	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) -> [. ( H |` c ) / z ]. G We ( R1 ` c ) )
94		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z [_ ( H |` c ) / z ]_ G
95		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( R1 ` c )
96	94, 95	nfwe 5090	. . . . . . . . 9 |- F/ z [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c )
97		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( H |` c ) -> G = [_ ( H |` c ) / z ]_ G )
98		weeq1 5102	. . . . . . . . . 10 |- ( G = [_ ( H |` c ) / z ]_ G -> ( G We ( R1 ` c ) <-> [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c ) ) )
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( H |` c ) -> ( G We ( R1 ` c ) <-> [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c ) ) )
100	96, 99	sbciegf 3467	. . . . . . . 8 |- ( ( H |` c ) e. _V -> ( [. ( H |` c ) / z ]. G We ( R1 ` c ) <-> [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c ) ) )
101	88, 100	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( [. ( H |` c ) / z ]. G We ( R1 ` c ) <-> [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c ) )
102	93, 101	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) -> [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c ) )
103		recsval 7500	. . . . . . . . 9 |- ( c e. On -> (recs ( ( z e. _V |-> G ) ) ` c ) = ( ( z e. _V |-> G ) ` (recs ( ( z e. _V |-> G ) ) |` c ) ) )
104	26	fveq1i 6192	. . . . . . . . 9 |- ( H ` c ) = (recs ( ( z e. _V |-> G ) ) ` c )
105		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R1 ` dom z ) e. _V
106	105, 105	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R1 ` dom z ) X. ( R1 ` dom z ) ) e. _V
107	106	inex2 4800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( if ( dom z = U. dom z , F , E ) i^i ( ( R1 ` dom z ) X. ( R1 ` dom z ) ) ) e. _V
108	21, 107	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- G e. _V
109	108	csbex 4793	. . . . . . . . . . 11 |- [_ ( H |` c ) / z ]_ G e. _V
110		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. _V |-> G ) = ( z e. _V |-> G )
111	110	fvmpts 6285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( H |` c ) e. _V /\ [_ ( H |` c ) / z ]_ G e. _V ) -> ( ( z e. _V |-> G ) ` ( H |` c ) ) = [_ ( H |` c ) / z ]_ G )
112	88, 109, 111	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V |-> G ) ` ( H |` c ) ) = [_ ( H |` c ) / z ]_ G
113	26	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . 11 |- ( H |` c ) = (recs ( ( z e. _V |-> G ) ) |` c )
114	113	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. _V |-> G ) ` ( H |` c ) ) = ( ( z e. _V |-> G ) ` (recs ( ( z e. _V |-> G ) ) |` c ) )
115	112, 114	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 |- [_ ( H |` c ) / z ]_ G = ( ( z e. _V |-> G ) ` (recs ( ( z e. _V |-> G ) ) |` c ) )
116	103, 104, 115	3eqtr4g 2681	. . . . . . . 8 |- ( c e. On -> ( H ` c ) = [_ ( H |` c ) / z ]_ G )
117		weeq1 5102	. . . . . . . 8 |- ( ( H ` c ) = [_ ( H |` c ) / z ]_ G -> ( ( H ` c ) We ( R1 ` c ) <-> [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c ) ) )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . 7 |- ( c e. On -> ( ( H ` c ) We ( R1 ` c ) <-> [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c ) ) )
119	118	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) -> ( ( H ` c ) We ( R1 ` c ) <-> [_ ( H |` c ) / z ]_ G We ( R1 ` c ) ) )
120	102, 119	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( c e. On /\ A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) /\ ( ph /\ c C_ A ) ) -> ( H ` c ) We ( R1 ` c ) )
121	120	3exp 1264	. . . 4 |- ( c e. On -> ( A. d e. c ( ( ph /\ d C_ A ) -> ( H ` d ) We ( R1 ` d ) ) -> ( ( ph /\ c C_ A ) -> ( H ` c ) We ( R1 ` c ) ) ) )
122	9, 15, 121	tfis3 7057	. . 3 |- ( A e. On -> ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( H ` A ) We ( R1 ` A ) ) )
123	3, 122	mpcom 38	. 2 |- ( ( ph /\ A C_ A ) -> ( H ` A ) We ( R1 ` A ) )
124	1, 123	mpan2 707	1 |- ( ph -> ( H ` A ) We ( R1 ` A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  recscrecs 7467   Fincfn 7955   supcsup 8346   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-sup 8348  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  aomclem7  37630