ax5seglem7 - Metamath Proof Explorer

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Theorem ax5seglem7 25815

Description: Lemma for ax5seg 25818. An algebraic calculation needed further down the line. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ax5seglem7.1
ax5seglem7.2
ax5seglem7.3
ax5seglem7.4

**Assertion**
Ref	Expression
ax5seglem7

**Proof of Theorem ax5seglem7**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax5seglem7.3	. . . . 5
2		ax5seglem7.4	. . . . 5
3	1, 2	binom2subi 12983	. . . 4
4	3	oveq2i 6661	. . 3
5		ax5seglem7.2	. . . 4
6	1	sqcli 12944	. . . . 5
7		2cn 11091	. . . . . 6
8	1, 2	mulcli 10045	. . . . . 6
9	7, 8	mulcli 10045	. . . . 5
10	6, 9	subcli 10357	. . . 4
11	2	sqcli 12944	. . . 4
12	5, 10, 11	adddii 10050	. . 3
13	5, 6, 9	subdii 10479	. . . 4
14	13	oveq1i 6660	. . 3
15	4, 12, 14	3eqtri 2648	. 2
16		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11
17	16, 5	subcli 10357	. . . . . . . . . 10
18		ax5seglem7.1	. . . . . . . . . 10
19	17, 18	mulcli 10045	. . . . . . . . 9
20	19	sqcli 12944	. . . . . . . 8
21	5, 1	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11
22	21, 2	subcli 10357	. . . . . . . . . 10
23	19, 22	mulcli 10045	. . . . . . . . 9
24	7, 23	mulcli 10045	. . . . . . . 8
25	20, 24	addcli 10044	. . . . . . 7
26	21	sqcli 12944	. . . . . . . 8
27	26, 11	addcli 10044	. . . . . . 7
28	25, 27	addcli 10044	. . . . . 6
29	21, 2	mulcli 10045	. . . . . . 7
30	7, 29	mulcli 10045	. . . . . 6
31	5, 6	mulcli 10045	. . . . . . 7
32	5, 11	mulcli 10045	. . . . . . 7
33	31, 32	addcli 10044	. . . . . 6
34		subadd23 10293	. . . . . 6 $/\$ $/\$
35	28, 30, 33, 34	mp3an 1424	. . . . 5
36	35	oveq1i 6660	. . . 4
37	19, 22	binom2i 12974	. . . . . . 7
38	19, 21, 2	addsubassi 10372	. . . . . . . 8
39	38	oveq1i 6660	. . . . . . 7
40	25, 27, 30	addsubassi 10372	. . . . . . . 8
41	21, 2	binom2subi 12983	. . . . . . . . . 10
42	26, 11, 30	addsubi 10373	. . . . . . . . . 10
43	41, 42	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9
44	43	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
45	40, 44	eqtr4i 2647	. . . . . . 7
46	37, 39, 45	3eqtr4i 2654	. . . . . 6
47	18, 1	binom2subi 12983	. . . . . . . . . . . 12
48	47	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
49	18	sqcli 12944	. . . . . . . . . . . . 13
50	18, 1	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . 14
51	7, 50	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . 13
52	49, 51	subcli 10357	. . . . . . . . . . . 12
53	5, 52, 6	adddii 10050	. . . . . . . . . . 11
54	48, 53	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
55	18, 2	binom2subi 12983	. . . . . . . . . 10
56	54, 55	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9
57	5, 52	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10
58	18, 2	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12
59	7, 58	mulcli 10045	. . . . . . . . . . 11
60	49, 59	subcli 10357	. . . . . . . . . 10
61	57, 31, 60, 11	addsub4i 10377	. . . . . . . . 9
62	56, 61	eqtri 2644	. . . . . . . 8
63	62	oveq2i 6661	. . . . . . 7
64	57, 60	subcli 10357	. . . . . . . 8
65	31, 11	subcli 10357	. . . . . . . 8
66	17, 64, 65	adddii 10050	. . . . . . 7
67	16, 5, 65	subdiri 10480	. . . . . . . . . 10
68	65	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . 11
69	5, 31, 11	subdii 10479	. . . . . . . . . . 11
70	68, 69	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
71	5, 31	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12
72		subsub3 10313	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
73	65, 71, 32, 72	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
74	31, 32, 11	addsubi 10373	. . . . . . . . . . . 12
75	74	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
76		subsub4 10314	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
77	33, 11, 71, 76	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
78	73, 75, 77	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . 10
79	67, 70, 78	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9
80	79	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
81	17, 64	mulcli 10045	. . . . . . . . 9
82	11, 71	addcli 10044	. . . . . . . . 9
83		addsub12 10294	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
84	81, 33, 82, 83	mp3an 1424	. . . . . . . 8
85	80, 84	eqtri 2644	. . . . . . 7
86	63, 66, 85	3eqtri 2648	. . . . . 6
87	46, 86	oveq12i 6662	. . . . 5
88	28, 30	subcli 10357	. . . . . 6
89	81, 82	subcli 10357	. . . . . 6
90	88, 33, 89	addassi 10048	. . . . 5
91	87, 90	eqtr4i 2647	. . . 4
92	33, 30	subcli 10357	. . . . 5
93	28, 89, 92	add32i 10259	. . . 4
94	36, 91, 93	3eqtr4i 2654	. . 3
95		subsub2 10309	. . . . . 6 $/\$ $/\$
96	28, 82, 81, 95	mp3an 1424	. . . . 5
97	25, 26, 11	addassi 10048	. . . . . . 7
98	25, 26	addcomi 10227	. . . . . . . . . 10
99	5, 1	sqmuli 12947	. . . . . . . . . . . 12
100	5	sqvali 12943	. . . . . . . . . . . . 13
101	100	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
102	5, 5, 6	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . 12
103	99, 101, 102	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11
104	17, 18	sqmuli 12947	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	17	sqvali 12943	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	17, 17, 49	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . . . . . 16
108	16, 5, 49	subdiri 10480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	49	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110	109	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111	108, 110	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
112	111	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
113	107, 112	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	104, 106, 113	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . 14
115	7, 19, 22	mul12i 10231	. . . . . . . . . . . . . . 15
116	7, 22	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . 16
117	17, 18, 116	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	18, 7	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119	118	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120	18, 7, 22	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121	119, 120	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
122	7, 18	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123	122, 21, 2	subdii 10479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124	122, 5, 1	mul12i 10231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
125	7, 18, 1	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
126	125	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
127	124, 126	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128	7, 18, 2	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	127, 128	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130	123, 129	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131	121, 130	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . 16
132	131	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15
133	115, 117, 132	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . 14
134	114, 133	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . 13
135	5, 49	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . 15
136	49, 135	subcli 10357	. . . . . . . . . . . . . 14
137	5, 51	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . 15
138	137, 59	subcli 10357	. . . . . . . . . . . . . 14
139	17, 136, 138	adddii 10050	. . . . . . . . . . . . 13
140	5, 49, 51	subdii 10479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
141	140	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16
142	140, 57	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
143		sub32 10315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
144	49, 142, 59, 143	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
145	141, 144	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15
146		subsub 10311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
147	49, 135, 137, 146	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16
148	147	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
149	136, 137, 59	addsubassi 10372	. . . . . . . . . . . . . . 15
150	145, 148, 149	3eqtrri 2649	. . . . . . . . . . . . . 14
151	150	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
152	134, 139, 151	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . 12
153	57, 60	negsubdi2i 10367	. . . . . . . . . . . . 13
154	153	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
155	17, 64	mulneg2i 10477	. . . . . . . . . . . 12
156	152, 154, 155	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . 11
157	103, 156	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10
158	71, 81	negsubi 10359	. . . . . . . . . 10
159	98, 157, 158	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9
160	159	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
161	25, 26	addcli 10044	. . . . . . . . 9
162	161, 11	addcomi 10227	. . . . . . . 8
163	11, 71, 81	addsubassi 10372	. . . . . . . 8
164	160, 162, 163	3eqtr4i 2654	. . . . . . 7
165	97, 164	eqtr3i 2646	. . . . . 6
166	82, 81	subcli 10357	. . . . . . 7
167	28, 166	subeq0i 10361	. . . . . 6
168	165, 167	mpbir 221	. . . . 5
169	96, 168	eqtr3i 2646	. . . 4
170	5, 1, 2	mulassi 10049	. . . . . . . 8
171	170	oveq2i 6661	. . . . . . 7
172	7, 5, 8	mul12i 10231	. . . . . . 7
173	171, 172	eqtri 2644	. . . . . 6
174	173	oveq2i 6661	. . . . 5
175	5, 9	mulcli 10045	. . . . . 6
176	31, 32, 175	addsubi 10373	. . . . 5
177	174, 176	eqtri 2644	. . . 4
178	169, 177	oveq12i 6662	. . 3
179	31, 175	subcli 10357	. . . . 5
180	179, 32	addcli 10044	. . . 4
181	180	addid2i 10224	. . 3
182	94, 178, 181	3eqtri 2648	. 2
183	15, 182	eqtr4i 2647	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wceq 1483

wcel 1990 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

c2 11070

cexp 12860

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-seq 12802 df-exp 12861

This theorem is referenced by: ax5seglem8 25816

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