Theorem axccdom 39416

Description: Relax the constraint on ax-cc to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
axccdom.1	|- ( ph -> X ~<_ om )
axccdom.2	|- ( ( ph /\ z e. X ) -> z =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
axccdom	|- ( ph -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) )

Distinct variable groups:   f, X, z   ph, z

Allowed substitution hint:   ph( f)

Proof of Theorem axccdom

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. Fin ) -> X e. Fin )
2		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. Fin ) /\ z e. X ) -> z e. X )
3		axccdom.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. X ) -> z =/= (/) )
4	3	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ X e. Fin ) /\ z e. X ) -> z =/= (/) )
5	1, 2, 4	choicefi 39392	. 2 |- ( ( ph /\ X e. Fin ) -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) )
6		axccdom.1	. . . . . 6 |- ( ph -> X ~<_ om )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. X e. Fin ) -> X ~<_ om )
8		isfinite2 8218	. . . . . . 7 |- ( X ~< om -> X e. Fin )
9	8	con3i 150	. . . . . 6 |- ( -. X e. Fin -> -. X ~< om )
10	9	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. X e. Fin ) -> -. X ~< om )
11	7, 10	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. X e. Fin ) -> ( X ~<_ om /\ -. X ~< om ) )
12		bren2 7986	. . . 4 |- ( X ~~ om <-> ( X ~<_ om /\ -. X ~< om ) )
13	11, 12	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X e. Fin ) -> X ~~ om )
14		ctex 7970	. . . . . . 7 |- ( X ~<_ om -> X e. _V )
15	6, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. _V )
16	15	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X ~~ om ) -> X e. _V )
17		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X ~~ om ) -> X ~~ om )
18		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( x ~~ om <-> X ~~ om ) )
19		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) <-> A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) )
20	19	exbidv 1850	. . . . . . 7 |- ( x = X -> ( E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) <-> E. g A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) )
21	18, 20	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( ( x ~~ om -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) <-> ( X ~~ om -> E. g A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) ) )
22		ax-cc 9257	. . . . . 6 |- ( x ~~ om -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
23	21, 22	vtoclg 3266	. . . . 5 |- ( X e. _V -> ( X ~~ om -> E. g A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) )
24	16, 17, 23	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ph /\ X ~~ om ) -> E. g A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
25	15	mptexd 6487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. X |-> ( g ` z ) ) e. _V )
26	25	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) -> ( z e. X |-> ( g ` z ) ) e. _V )
27		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` z ) e. _V
28	27	rgenw 2924	. . . . . . . . . . 11 |- A. z e. X ( g ` z ) e. _V
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. X |-> ( g ` z ) ) = ( z e. X |-> ( g ` z ) )
30	29	fnmpt 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. X ( g ` z ) e. _V -> ( z e. X |-> ( g ` z ) ) Fn X )
31	28, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. X |-> ( g ` z ) ) Fn X
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) -> ( z e. X |-> ( g ` z ) ) Fn X )
33		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z ph
34		nfra1 2941	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z )
35	33, 34	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ z ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
36		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. X -> z e. X )
37	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. X -> ( g ` z ) e. _V )
38	29	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. X /\ ( g ` z ) e. _V ) -> ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. X -> ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) /\ z e. X ) -> ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) = ( g ` z ) )
41		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) /\ z e. X ) -> ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
42	41	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) /\ z e. X ) -> ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
43	3	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) /\ z e. X ) -> z =/= (/) )
44		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) -> ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
45	42, 43, 44	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) /\ z e. X ) -> ( g ` z ) e. z )
46	40, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) /\ z e. X ) -> ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) e. z )
47	46	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) -> ( z e. X -> ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) e. z ) )
48	35, 47	ralrimi 2957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) -> A. z e. X ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) e. z )
49	32, 48	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) -> ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) Fn X /\ A. z e. X ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) e. z ) )
50		fneq1 5979	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( z e. X |-> ( g ` z ) ) -> ( f Fn X <-> ( z e. X |-> ( g ` z ) ) Fn X ) )
51		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z f
52		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z ( z e. X |-> ( g ` z ) )
53	51, 52	nfeq 2776	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z f = ( z e. X |-> ( g ` z ) )
54		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( z e. X |-> ( g ` z ) ) -> ( f ` z ) = ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) )
55	54	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( z e. X |-> ( g ` z ) ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) e. z ) )
56	53, 55	ralbid 2983	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( z e. X |-> ( g ` z ) ) -> ( A. z e. X ( f ` z ) e. z <-> A. z e. X ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) e. z ) )
57	50, 56	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( z e. X |-> ( g ` z ) ) -> ( ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) <-> ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) Fn X /\ A. z e. X ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) e. z ) ) )
58	57	spcegv 3294	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) e. _V -> ( ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) Fn X /\ A. z e. X ( ( z e. X |-> ( g ` z ) ) ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) ) )
59	26, 49, 58	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) )
60	59	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X ~~ om ) /\ A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) ) -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) )
61	60	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X ~~ om ) -> ( A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) ) )
62	61	exlimdv 1861	. . . 4 |- ( ( ph /\ X ~~ om ) -> ( E. g A. z e. X ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) ) )
63	24, 62	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ X ~~ om ) -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) )
64	13, 63	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ -. X e. Fin ) -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) )
65	5, 64	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn X /\ A. z e. X ( f ` z ) e. z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cc 9257

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  subsaliuncl  40576