Theorem choicefi 39392

Description: For a finite set, a choice function exists, without using the axiom of choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
choicefi.a	|- ( ph -> A e. Fin )
choicefi.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
choicefi.n	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
choicefi	|- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )

Distinct variable groups:   A, f, x   B, f   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( x)   W( x, f)

Proof of Theorem choicefi

Dummy variables g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		choicefi.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. Fin )
2		mptfi 8265	. . . . 5 |- ( A e. Fin -> ( x e. A |-> B ) e. Fin )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. Fin )
4		rnfi 8249	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) e. Fin -> ran ( x e. A |-> B ) e. Fin )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( x e. A |-> B ) e. Fin )
6		fnchoice 39188	. . 3 |- ( ran ( x e. A |-> B ) e. Fin -> E. g ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) )
7	5, 6	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. g ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) )
8		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) ) -> ph )
9		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) ) -> g Fn ran ( x e. A |-> B ) )
10		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ y ph
11		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ y A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y )
12	10, 11	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) )
13		rspa 2930	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) )
14	13	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) )
15		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
17	16	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A y = B ) )
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ran ( x e. A |-> B ) <-> E. x e. A y = B )
19	18	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ran ( x e. A |-> B ) -> E. x e. A y = B )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> E. x e. A y = B )
21		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = B ) -> y = B )
22		choicefi.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B =/= (/) )
23	22	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = B ) -> B =/= (/) )
24	21, 23	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = B ) -> y =/= (/) )
25	24	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x e. A -> ( y = B -> y =/= (/) ) ) )
26	25	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E. x e. A y = B -> y =/= (/) ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( E. x e. A y = B -> y =/= (/) ) )
28	20, 27	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> y =/= (/) )
29	28	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> y =/= (/) )
30		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) -> ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) )
31	30	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) /\ y =/= (/) ) -> ( g ` y ) e. y )
32	14, 29, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) /\ y e. ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( g ` y ) e. y )
33	32	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> ( y e. ran ( x e. A |-> B ) -> ( g ` y ) e. y ) )
34	12, 33	ralrimi 2957	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
35		rsp 2929	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y -> ( y e. ran ( x e. A |-> B ) -> ( g ` y ) e. y ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> ( y e. ran ( x e. A |-> B ) -> ( g ` y ) e. y ) )
37	12, 36	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
38	37	adantrl 752	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) ) -> A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
39		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> g e. _V )
41	1	mptexd 6487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. _V )
42		coexg 7117	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. _V /\ ( x e. A |-> B ) e. _V ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) e. _V )
43	40, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) e. _V )
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) e. _V )
45		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) ) -> g Fn ran ( x e. A |-> B ) )
46		choicefi.b	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
47	46	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. A B e. W )
48	16	fnmpt 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. A B e. W -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( x e. A |-> B ) Fn A )
51		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ran ( x e. A |-> B ) C_ ran ( x e. A |-> B )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) ) -> ran ( x e. A |-> B ) C_ ran ( x e. A |-> B ) )
53		fnco 5999	. . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ ( x e. A |-> B ) Fn A /\ ran ( x e. A |-> B ) C_ ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A )
54	45, 50, 52, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A )
55	54	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A )
56		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ x ph
57		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x g
58		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
59	58	nfrn 5368	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ran ( x e. A |-> B )
60	57, 59	nffn 5987	. . . . . . . . 9 |- F/ x g Fn ran ( x e. A |-> B )
61		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( g ` y ) e. y
62	59, 61	nfral 2945	. . . . . . . . 9 |- F/ x A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y
63	56, 60, 62	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ x ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
64		funmpt 5926	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Fun ( x e. A |-> B )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> Fun ( x e. A |-> B ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
67	16, 46	dmmptd 6024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
68	67	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A = dom ( x e. A |-> B ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A = dom ( x e. A |-> B ) )
70	66, 69	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. dom ( x e. A |-> B ) )
71		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun ( x e. A |-> B ) /\ x e. dom ( x e. A |-> B ) ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) = ( g ` ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
72	65, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) = ( g ` ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) )
73	16	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ B e. W ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
74	66, 46, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
75	74	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( g ` ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ) = ( g ` B ) )
76	72, 75	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) = ( g ` B ) )
77	76	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) = ( g ` B ) )
78	16	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ B e. W ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
79	66, 46, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
80	79	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> B e. ran ( x e. A |-> B ) )
81		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> ( g ` y ) = ( g ` B ) )
83		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = B -> y = B )
84	82, 83	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = B -> ( ( g ` y ) e. y <-> ( g ` B ) e. B ) )
85	84	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( g ` B ) e. B )
86	80, 81, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> ( g ` B ) e. B )
87	77, 86	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) /\ x e. A ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B )
88	87	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( x e. A -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) )
89	63, 88	ralrimi 2957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B )
90	55, 89	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A /\ A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) )
91		fneq1 5979	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( f Fn A <-> ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A ) )
92		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x f
93	57, 58	nfco 5287	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( g o. ( x e. A |-> B ) )
94	92, 93	nfeq 2776	. . . . . . . . 9 |- F/ x f = ( g o. ( x e. A |-> B ) )
95		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( f ` x ) = ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) )
96	95	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( ( f ` x ) e. B <-> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) )
97	94, 96	ralbid 2983	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B <-> A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) )
98	91, 97	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( f = ( g o. ( x e. A |-> B ) ) -> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) <-> ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A /\ A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) ) )
99	98	spcegv 3294	. . . . . 6 |- ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) e. _V -> ( ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) Fn A /\ A. x e. A ( ( g o. ( x e. A |-> B ) ) ` x ) e. B ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) ) )
100	44, 90, 99	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( g ` y ) e. y ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
101	8, 9, 38, 100	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
102	101	ex 450	. . 3 |- ( ph -> ( ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) ) )
103	102	exlimdv 1861	. 2 |- ( ph -> ( E. g ( g Fn ran ( x e. A |-> B ) /\ A. y e. ran ( x e. A |-> B ) ( y =/= (/) -> ( g ` y ) e. y ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) ) )
104	7, 103	mpd 15	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  axccdom  39416  axccd2  39430  qndenserrnbllem  40514  hoiqssbllem3  40838