Theorem subsaliuncl 40576

Description: A subspace sigma-algebra is closed under countable union. This is Lemma 121A (iii) of [Fremlin1] p. 35. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
subsaliuncl.1	|- ( ph -> S e. SAlg )
subsaliuncl.2	|- ( ph -> D e. V )
subsaliuncl.3	|- T = ( S ↾t D )
subsaliuncl.4	|- ( ph -> F : NN --> T )

Assertion

Ref	Expression
subsaliuncl	|- ( ph -> U_ n e. NN ( F ` n ) e. T )

Distinct variable groups:   D, n   n, F   S, n   ph, n

Allowed substitution hints:   T( n)   V( n)

Proof of Theorem subsaliuncl

Dummy variables x e f z m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) }
2		subsaliuncl.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. SAlg )
3	1, 2	rabexd 4814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } e. _V )
4	3	ralrimivw 2967	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. NN { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } e. _V )
5		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) = ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
6	5	fnmpt 6020	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } e. _V -> ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) Fn NN )
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) Fn NN )
8		nnex 11026	. . . . . . 7 |- NN e. _V
9		fnrndomg 9358	. . . . . . 7 |- ( NN e. _V -> ( ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) Fn NN -> ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ~<_ NN ) )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) Fn NN -> ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ~<_ NN )
11	7, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ~<_ NN )
12		nnenom 12779	. . . . . 6 |- NN ~~ om
13	12	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> NN ~~ om )
14		domentr 8015	. . . . 5 |- ( ( ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ~<_ NN /\ NN ~~ om ) -> ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ~<_ om )
15	11, 13, 14	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ~<_ om )
16		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
17	5	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( y e. _V -> ( y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) <-> E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) <-> E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
19	18	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) -> E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
20	19	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ) -> E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
21		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) -> y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
22		subsaliuncl.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : NN --> T )
23	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. T )
24		subsaliuncl.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( S ↾t D )
25	23, 24	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( S ↾t D ) )
26		subsaliuncl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. V )
27	26	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. _V )
28		elrest 16088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. SAlg /\ D e. _V ) -> ( ( F ` n ) e. ( S ↾t D ) <-> E. x e. S ( F ` n ) = ( x i^i D ) ) )
29	2, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( F ` n ) e. ( S ↾t D ) <-> E. x e. S ( F ` n ) = ( x i^i D ) ) )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( S ↾t D ) <-> E. x e. S ( F ` n ) = ( x i^i D ) ) )
31	25, 30	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. x e. S ( F ` n ) = ( x i^i D ) )
32		rabn0 3958	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } =/= (/) <-> E. x e. S ( F ` n ) = ( x i^i D ) )
33	31, 32	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } =/= (/) )
34	33	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) -> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } =/= (/) )
35	21, 34	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN /\ y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) -> y =/= (/) )
36	35	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN -> ( y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> y =/= (/) ) ) )
37	36	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> y =/= (/) ) )
38	37	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ) -> ( E. n e. NN y = { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } -> y =/= (/) ) )
39	20, 38	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ) -> y =/= (/) )
40	15, 39	axccdom 39416	. . 3 |- ( ph -> E. f ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) )
41		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> ph )
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
43	42	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) = ( x i^i D ) <-> ( F ` m ) = ( x i^i D ) ) )
44	43	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } = { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } )
45	44	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) = ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } )
46	45	rneqi 5352	. . . . . . . . 9 |- ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) = ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } )
47	46	fneq2i 5986	. . . . . . . 8 |- ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) <-> f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) )
48	47	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) -> f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) )
49	48	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) )
50	46	raleqi 3142	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y <-> A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y )
51	50	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y -> A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y )
52	51	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) -> A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y )
53	52	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y )
54		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ z ( ph /\ f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y )
55	2	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) -> S e. SAlg )
56		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( x i^i D ) = ( z i^i D ) )
57	56	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( F ` m ) = ( x i^i D ) <-> ( F ` m ) = ( z i^i D ) ) )
58	57	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . 10 |- { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } = { z e. S | ( F ` m ) = ( z i^i D ) }
59	58	mpteq2i 4741	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) = ( m e. NN |-> { z e. S | ( F ` m ) = ( z i^i D ) } )
60	45, 59	eqtr2i 2645	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN |-> { z e. S | ( F ` m ) = ( z i^i D ) } ) = ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
61	60	coeq2i 5282	. . . . . . 7 |- ( f o. ( m e. NN |-> { z e. S | ( F ` m ) = ( z i^i D ) } ) ) = ( f o. ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) )
62	47	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) -> f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) )
63	62	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) -> f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) )
64	46	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) = ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } )
65	64	raleqi 3142	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y <-> A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y )
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( f ` y ) = ( f ` z ) )
67		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> y = z )
68	66, 67	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( f ` y ) e. y <-> ( f ` z ) e. z ) )
69	68	cbvralv 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` z ) e. z )
70	65, 69	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` z ) e. z )
71	70	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y -> A. z e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` z ) e. z )
72	71	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) -> A. z e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` z ) e. z )
73	54, 55, 5, 61, 63, 72	subsaliuncllem 40575	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f Fn ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( m e. NN |-> { x e. S | ( F ` m ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) -> E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) )
74	41, 49, 53, 73	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) ) -> E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) )
75	74	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) -> E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) )
76	75	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ph -> ( E. f ( f Fn ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) /\ A. y e. ran ( n e. NN |-> { x e. S | ( F ` n ) = ( x i^i D ) } ) ( f ` y ) e. y ) -> E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) )
77	40, 76	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) )
78	2	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) -> S e. SAlg )
79	27	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) -> D e. _V )
80	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) ) -> S e. SAlg )
81		nnct 12780	. . . . . . . . 9 |- NN ~<_ om
82	81	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) ) -> NN ~<_ om )
83		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( S ^m NN ) -> e : NN --> S )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) ) -> e : NN --> S )
85	84	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) ) /\ n e. NN ) -> ( e ` n ) e. S )
86	80, 82, 85	saliuncl 40542	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) ) -> U_ n e. NN ( e ` n ) e. S )
87	86	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) -> U_ n e. NN ( e ` n ) e. S )
88		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( U_ n e. NN ( e ` n ) i^i D ) = ( U_ n e. NN ( e ` n ) i^i D )
89	78, 79, 87, 88	elrestd 39291	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) -> ( U_ n e. NN ( e ` n ) i^i D ) e. ( S ↾t D ) )
90		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ n A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D )
91		rspa 2930	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) )
92	90, 91	iuneq2df 39212	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) -> U_ n e. NN ( F ` n ) = U_ n e. NN ( ( e ` n ) i^i D ) )
93		iunin1 4585	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. NN ( ( e ` n ) i^i D ) = ( U_ n e. NN ( e ` n ) i^i D )
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) -> U_ n e. NN ( ( e ` n ) i^i D ) = ( U_ n e. NN ( e ` n ) i^i D ) )
95	92, 94	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) -> U_ n e. NN ( F ` n ) = ( U_ n e. NN ( e ` n ) i^i D ) )
96	95	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) -> U_ n e. NN ( F ` n ) = ( U_ n e. NN ( e ` n ) i^i D ) )
97	24	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) -> T = ( S ↾t D ) )
98	96, 97	eleq12d 2695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) -> ( U_ n e. NN ( F ` n ) e. T <-> ( U_ n e. NN ( e ` n ) i^i D ) e. ( S ↾t D ) ) )
99	89, 98	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. ( S ^m NN ) /\ A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) ) -> U_ n e. NN ( F ` n ) e. T )
100	99	3exp 1264	. . 3 |- ( ph -> ( e e. ( S ^m NN ) -> ( A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) -> U_ n e. NN ( F ` n ) e. T ) ) )
101	100	rexlimdv 3030	. 2 |- ( ph -> ( E. e e. ( S ^m NN ) A. n e. NN ( F ` n ) = ( ( e ` n ) i^i D ) -> U_ n e. NN ( F ` n ) e. T ) )
102	77, 101	mpd 15	1 |- ( ph -> U_ n e. NN ( F ` n ) e. T )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   NNcn 11020   ↾_t crest 16081  SAlgcsalg 40528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rest 16083  df-salg 40529

This theorem is referenced by:  subsalsal  40577