Theorem brdom4 9352

Description: An equivalence to a dominance relation. (Contributed by NM, 28-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
brdom3.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom4	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom3.2	. . . 4 |- B e. _V
2	1	brdom3 9350	. . 3 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
3		mormo 3158	. . . . . . 7 |- ( E* y x f y -> E* y e. A x f y )
4	3	alimi 1739	. . . . . 6 |- ( A. x E* y x f y -> A. x E* y e. A x f y )
5		alral 2928	. . . . . 6 |- ( A. x E* y e. A x f y -> A. x e. B E* y e. A x f y )
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( A. x E* y x f y -> A. x e. B E* y e. A x f y )
7	6	anim1i 592	. . . 4 |- ( ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
8	7	eximi 1762	. . 3 |- ( E. f ( A. x E* y x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> E. f ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
9	2, 8	sylbi 207	. 2 |- ( A ~<_ B -> E. f ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )
10		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A )
11		dmss 5323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A ) -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ dom ( B X. A )
13		dmxpss 5565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom ( B X. A ) C_ B
14	12, 13	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B
15	14	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. dom ( f i^i ( B X. A ) ) -> x e. B )
16		rnss 5354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ( B X. A ) -> ran ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ran ( B X. A ) )
17	10, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( f i^i ( B X. A ) ) C_ ran ( B X. A )
18		rnxpss 5566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( B X. A ) C_ A
19	17, 18	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran ( f i^i ( B X. A ) ) C_ A
20	19	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) -> y e. A )
21		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f i^i ( B X. A ) ) C_ f
22	21	ssbri 4697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x ( f i^i ( B X. A ) ) y -> x f y )
23	20, 22	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) /\ x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) -> ( y e. A /\ x f y ) )
24	23	moimi 2520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E* y ( y e. A /\ x f y ) -> E* y ( y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) /\ x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
25		df-rmo 2920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E* y e. A x f y <-> E* y ( y e. A /\ x f y ) )
26		df-rmo 2920	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E* y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) x ( f i^i ( B X. A ) ) y <-> E* y ( y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) /\ x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
27	24, 25, 26	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E* y e. A x f y -> E* y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
28	15, 27	imim12i 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B -> E* y e. A x f y ) -> ( x e. dom ( f i^i ( B X. A ) ) -> E* y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
29	28	ralimi2 2949	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B E* y e. A x f y -> A. x e. dom ( f i^i ( B X. A ) ) E* y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) x ( f i^i ( B X. A ) ) y )
30		relxp 5227	. . . . . . . . . . 11 |- Rel ( B X. A )
31		relin2 5237	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel ( B X. A ) -> Rel ( f i^i ( B X. A ) ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- Rel ( f i^i ( B X. A ) )
33	29, 32	jctil 560	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. B E* y e. A x f y -> ( Rel ( f i^i ( B X. A ) ) /\ A. x e. dom ( f i^i ( B X. A ) ) E* y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
34		dffun9 5917	. . . . . . . . 9 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( Rel ( f i^i ( B X. A ) ) /\ A. x e. dom ( f i^i ( B X. A ) ) E* y e. ran ( f i^i ( B X. A ) ) x ( f i^i ( B X. A ) ) y ) )
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B E* y e. A x f y -> Fun ( f i^i ( B X. A ) ) )
36		funfn 5918	. . . . . . . 8 |- ( Fun ( f i^i ( B X. A ) ) <-> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
37	35, 36	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B E* y e. A x f y -> ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
38		rninxp 5573	. . . . . . . 8 |- ( ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A <-> A. x e. A E. y e. B y f x )
39	38	biimpri 218	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E. y e. B y f x -> ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A )
40	37, 39	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
41		df-fo 5894	. . . . . 6 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A <-> ( ( f i^i ( B X. A ) ) Fn dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ ran ( f i^i ( B X. A ) ) = A ) )
42	40, 41	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A )
43		vex 3203	. . . . . . . 8 |- f e. _V
44	43	inex1 4799	. . . . . . 7 |- ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
45	44	dmex 7099	. . . . . 6 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) e. _V
46	45	fodom 9344	. . . . 5 |- ( ( f i^i ( B X. A ) ) : dom ( f i^i ( B X. A ) ) -onto-> A -> A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
47	42, 46	syl 17	. . . 4 |- ( ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) )
48		ssdomg 8001	. . . . 5 |- ( B e. _V -> ( dom ( f i^i ( B X. A ) ) C_ B -> dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) )
49	1, 14, 48	mp2 9	. . . 4 |- dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B
50		domtr 8009	. . . 4 |- ( ( A ~<_ dom ( f i^i ( B X. A ) ) /\ dom ( f i^i ( B X. A ) ) ~<_ B ) -> A ~<_ B )
51	47, 49, 50	sylancl 694	. . 3 |- ( ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
52	51	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. f ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) -> A ~<_ B )
53	9, 52	impbii 199	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x e. B E* y e. A x f y /\ A. x e. A E. y e. B y f x ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E*wmo 2471   A.wral 2912   E.wrex 2913   E*wrmo 2915   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  brdom7disj  9353