Theorem brdom7disj 9353

Description: An equivalence to a dominance relation for disjoint sets. (Contributed by NM, 29-Mar-2007.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
brdom7disj.1	|- A e. _V
brdom7disj.2	|- B e. _V
brdom7disj.3	|- ( A i^i B ) = (/)

Assertion

Ref	Expression
brdom7disj	|- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )

Distinct variable groups:   x, f, y, A   B, f, x, y

Proof of Theorem brdom7disj

Dummy variables g v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom7disj.2	. . 3 |- B e. _V
2	1	brdom4 9352	. 2 |- ( A ~<_ B <-> E. g ( A. x e. B E* y e. A x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) )
3		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
4		brdom7disj.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i B ) = (/)
5	3, 4	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B i^i A ) = (/)
6		disjne 4022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B i^i A ) = (/) /\ x e. B /\ w e. A ) -> x =/= w )
7	5, 6	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> x =/= w )
8		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
9		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
10		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. _V
11		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
12	8, 9, 10, 11	opthpr 4384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x =/= w -> ( { x , y } = { z , w } <-> ( x = z /\ y = w ) ) )
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> ( { x , y } = { z , w } <-> ( x = z /\ y = w ) ) )
14		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z <-> z = x )
15		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = w <-> w = y )
16	14, 15	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = z /\ y = w ) <-> ( z = x /\ w = y ) )
17	13, 16	syl6rbb 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> ( ( z = x /\ w = y ) <-> { x , y } = { z , w } ) )
18		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z g w <-> <. z , w >. e. g )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> ( z g w <-> <. z , w >. e. g ) )
20	17, 19	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ w e. A ) -> ( ( ( z = x /\ w = y ) /\ z g w ) <-> ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
21	20	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. B -> ( E. w e. A ( ( z = x /\ w = y ) /\ z g w ) <-> E. w e. A ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
22	21	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. B -> ( E. z e. B E. w e. A ( ( z = x /\ w = y ) /\ z g w ) <-> E. z e. B E. w e. A ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
23		rexcom 3099	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. B E. w e. A ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. w e. A E. z e. B ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) )
24		zfpair2 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- { x , y } e. _V
25		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { x , y } -> ( v = { z , w } <-> { x , y } = { z , w } ) )
26	25	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { x , y } -> ( ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
27	26	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = { x , y } -> ( E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. w e. A E. z e. B ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
28	24, 27	elab 3350	. . . . . . . . . . 11 |- ( { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. w e. A E. z e. B ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) )
29	23, 28	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. B E. w e. A ( { x , y } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } )
30	22, 29	syl6rbb 277	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> ( { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. z e. B E. w e. A ( ( z = x /\ w = y ) /\ z g w ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. z e. B E. w e. A ( ( z = x /\ w = y ) /\ z g w ) ) )
32		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( z g w <-> x g w ) )
33		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( x g w <-> x g y ) )
34	32, 33	ceqsrex2v 3338	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( E. z e. B E. w e. A ( ( z = x /\ w = y ) /\ z g w ) <-> x g y ) )
35	31, 34	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( x e. B /\ y e. A ) -> ( { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> x g y ) )
36	35	rmobidva 3130	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( E* y e. A { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E* y e. A x g y ) )
37	36	ralbiia 2979	. . . . 5 |- ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> A. x e. B E* y e. A x g y )
38		zfpair2 4907	. . . . . . . . . . 11 |- { y , x } e. _V
39		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { y , x } -> ( v = { z , w } <-> { y , x } = { z , w } ) )
40	39	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = { y , x } -> ( ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
41	40	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = { y , x } -> ( E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. w e. A E. z e. B ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) ) )
42	38, 41	elab 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. w e. A E. z e. B ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) )
43		disjne 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B i^i A ) = (/) /\ z e. B /\ x e. A ) -> z =/= x )
44	5, 43	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. B /\ x e. A ) -> z =/= x )
45	44	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> z =/= x )
46	10, 11, 9, 8	opthpr 4384	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z =/= x -> ( { z , w } = { y , x } <-> ( z = y /\ w = x ) ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> ( { z , w } = { y , x } <-> ( z = y /\ w = x ) ) )
48		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y , x } = { z , w } <-> { z , w } = { y , x } )
49		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w = x /\ z = y ) <-> ( z = y /\ w = x ) )
50	47, 48, 49	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> ( { y , x } = { z , w } <-> ( w = x /\ z = y ) ) )
51	18	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. z , w >. e. g <-> z g w )
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> ( <. z , w >. e. g <-> z g w ) )
53	50, 52	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ z e. B ) -> ( ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
54	53	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( E. z e. B ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
55	54	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( E. w e. A E. z e. B ( { y , x } = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) <-> E. w e. A E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
56	42, 55	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. w e. A E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. w e. A E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) ) )
58		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( z g w <-> z g x ) )
59		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z g x <-> y g x ) )
60	58, 59	ceqsrex2v 3338	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( E. w e. A E. z e. B ( ( w = x /\ z = y ) /\ z g w ) <-> y g x ) )
61	57, 60	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> y g x ) )
62	61	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> E. y e. B y g x ) )
63	62	ralbiia 2979	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } <-> A. x e. A E. y e. B y g x )
64		brdom7disj.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
65		snex 4908	. . . . . . . 8 |- { { z , w } } e. _V
66		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) -> v = { z , w } )
67	66	ss2abi 3674	. . . . . . . . 9 |- { v | ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } C_ { v | v = { z , w } }
68		df-sn 4178	. . . . . . . . 9 |- { { z , w } } = { v | v = { z , w } }
69	67, 68	sseqtr4i 3638	. . . . . . . 8 |- { v | ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } C_ { { z , w } }
70	65, 69	ssexi 4803	. . . . . . 7 |- { v | ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } e. _V
71	64, 1, 70	ab2rexex2 7160	. . . . . 6 |- { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } e. _V
72		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( { x , y } e. f <-> { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
73	72	rmobidv 3131	. . . . . . . 8 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( E* y e. A { x , y } e. f <-> E* y e. A { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
74	73	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f <-> A. x e. B E* y e. A { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
75		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( { y , x } e. f <-> { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
76	75	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( E. y e. B { y , x } e. f <-> E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
77	76	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f <-> A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) )
78	74, 77	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( f = { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } -> ( ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) <-> ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) ) )
79	71, 78	spcev 3300	. . . . 5 |- ( ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. { v | E. w e. A E. z e. B ( v = { z , w } /\ <. z , w >. e. g ) } ) -> E. f ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )
80	37, 63, 79	syl2anbr 497	. . . 4 |- ( ( A. x e. B E* y e. A x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) -> E. f ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )
81	80	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. g ( A. x e. B E* y e. A x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) -> E. f ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )
82		preq1 4268	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> { w , z } = { x , z } )
83	82	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( { w , z } e. f <-> { x , z } e. f ) )
84		preq2 4269	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> { x , z } = { x , y } )
85	84	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( { x , z } e. f <-> { x , y } e. f ) )
86		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { <. w , z >. | { w , z } e. f } = { <. w , z >. | { w , z } e. f }
87	8, 9, 83, 85, 86	brab 4998	. . . . . . 7 |- ( x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y <-> { x , y } e. f )
88	87	rmobii 3133	. . . . . 6 |- ( E* y e. A x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y <-> E* y e. A { x , y } e. f )
89	88	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. B E* y e. A x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y <-> A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f )
90		preq1 4268	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> { w , z } = { y , z } )
91	90	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( { w , z } e. f <-> { y , z } e. f ) )
92		preq2 4269	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> { y , z } = { y , x } )
93	92	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( { y , z } e. f <-> { y , x } e. f ) )
94	9, 8, 91, 93, 86	brab 4998	. . . . . . 7 |- ( y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x <-> { y , x } e. f )
95	94	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x <-> E. y e. B { y , x } e. f )
96	95	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x <-> A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f )
97		df-opab 4713	. . . . . . 7 |- { <. w , z >. | { w , z } e. f } = { v | E. w E. z ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) }
98		vuniex 6954	. . . . . . . 8 |- U. f e. _V
99	11	prid1 4297	. . . . . . . . . . 11 |- w e. { w , z }
100		elunii 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. { w , z } /\ { w , z } e. f ) -> w e. U. f )
101	99, 100	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( { w , z } e. f -> w e. U. f )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) -> w e. U. f )
103	102	exlimiv 1858	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) -> w e. U. f )
104	10	prid2 4298	. . . . . . . . . . 11 |- z e. { w , z }
105		elunii 4441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. { w , z } /\ { w , z } e. f ) -> z e. U. f )
106	104, 105	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( { w , z } e. f -> z e. U. f )
107	106	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) -> z e. U. f )
108		df-sn 4178	. . . . . . . . . . 11 |- { <. w , z >. } = { v | v = <. w , z >. }
109		snex 4908	. . . . . . . . . . 11 |- { <. w , z >. } e. _V
110	108, 109	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . 10 |- { v | v = <. w , z >. } e. _V
111		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) -> v = <. w , z >. )
112	111	ss2abi 3674	. . . . . . . . . 10 |- { v | ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) } C_ { v | v = <. w , z >. }
113	110, 112	ssexi 4803	. . . . . . . . 9 |- { v | ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) } e. _V
114	98, 107, 113	abexex 7151	. . . . . . . 8 |- { v | E. z ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) } e. _V
115	98, 103, 114	abexex 7151	. . . . . . 7 |- { v | E. w E. z ( v = <. w , z >. /\ { w , z } e. f ) } e. _V
116	97, 115	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- { <. w , z >. | { w , z } e. f } e. _V
117		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( x g y <-> x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y ) )
118	117	rmobidv 3131	. . . . . . . 8 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( E* y e. A x g y <-> E* y e. A x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y ) )
119	118	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( A. x e. B E* y e. A x g y <-> A. x e. B E* y e. A x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y ) )
120		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( y g x <-> y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) )
121	120	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( E. y e. B y g x <-> E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) )
122	121	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( A. x e. A E. y e. B y g x <-> A. x e. A E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) )
123	119, 122	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( g = { <. w , z >. | { w , z } e. f } -> ( ( A. x e. B E* y e. A x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) <-> ( A. x e. B E* y e. A x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y /\ A. x e. A E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) ) )
124	116, 123	spcev 3300	. . . . 5 |- ( ( A. x e. B E* y e. A x { <. w , z >. | { w , z } e. f } y /\ A. x e. A E. y e. B y { <. w , z >. | { w , z } e. f } x ) -> E. g ( A. x e. B E* y e. A x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) )
125	89, 96, 124	syl2anbr 497	. . . 4 |- ( ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) -> E. g ( A. x e. B E* y e. A x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) )
126	125	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. f ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) -> E. g ( A. x e. B E* y e. A x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) )
127	81, 126	impbii 199	. 2 |- ( E. g ( A. x e. B E* y e. A x g y /\ A. x e. A E. y e. B y g x ) <-> E. f ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )
128	2, 127	bitri 264	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f ( A. x e. B E* y e. A { x , y } e. f /\ A. x e. A E. y e. B { y , x } e. f ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E*wrmo 2915   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

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