Theorem cats1cat 13606

Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	|- T = ( S ++ <" X "> )
cats1cat.2	|- A e. Word _V
cats1cat.3	|- S e. Word _V
cats1cat.4	|- C = ( B ++ <" X "> )
cats1cat.5	|- B = ( A ++ S )

Assertion

Ref	Expression
cats1cat	|- C = ( A ++ T )

Proof of Theorem cats1cat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cat.5	. . . 4 |- B = ( A ++ S )
2	1	oveq1i 6660	. . 3 |- ( B ++ <" X "> ) = ( ( A ++ S ) ++ <" X "> )
3		cats1cat.2	. . . 4 |- A e. Word _V
4		cats1cat.3	. . . 4 |- S e. Word _V
5		s1cli 13384	. . . 4 |- <" X "> e. Word _V
6		ccatass 13371	. . . 4 |- ( ( A e. Word _V /\ S e. Word _V /\ <" X "> e. Word _V ) -> ( ( A ++ S ) ++ <" X "> ) = ( A ++ ( S ++ <" X "> ) ) )
7	3, 4, 5, 6	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( A ++ S ) ++ <" X "> ) = ( A ++ ( S ++ <" X "> ) )
8	2, 7	eqtri 2644	. 2 |- ( B ++ <" X "> ) = ( A ++ ( S ++ <" X "> ) )
9		cats1cat.4	. 2 |- C = ( B ++ <" X "> )
10		cats1cld.1	. . 3 |- T = ( S ++ <" X "> )
11	10	oveq2i 6661	. 2 |- ( A ++ T ) = ( A ++ ( S ++ <" X "> ) )
12	8, 9, 11	3eqtr4i 2654	1 |- C = ( A ++ T )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200  (class class class)co 6650  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302

This theorem is referenced by:  s1s2  13668  s1s3  13669  s1s4  13670  s1s5  13671  s1s6  13672  s1s7  13673  s2s2  13674  s4s2  13675  s4s3  13676  s4s4  13677