Theorem cayleylem1 17832

Description: Lemma for cayley 17834. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayleylem1.x	|- X = ( Base ` G )
cayleylem1.p	|- .+ = ( +g ` G )
cayleylem1.u	|- .0. = ( 0g ` G )
cayleylem1.h	|- H = ( SymGrp ` X )
cayleylem1.s	|- S = ( Base ` H )
cayleylem1.f	|- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cayleylem1	|- ( G e. Grp -> F e. ( G GrpHom H ) )

Distinct variable groups:   g, a, .+   G, a, g   g, H   X, a, g   .0. , a

Allowed substitution hints:   S( g, a)   F( g, a)   H( a)   .0. ( g)

Proof of Theorem cayleylem1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayleylem1.x	. . 3 |- X = ( Base ` G )
2		cayleylem1.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. X , y e. X |-> ( x .+ y ) ) = ( x e. X , y e. X |-> ( x .+ y ) )
4	1, 2, 3	gaid2 17736	. 2 |- ( G e. Grp -> ( x e. X , y e. X |-> ( x .+ y ) ) e. ( G GrpAct X ) )
5		cayleylem1.h	. . 3 |- H = ( SymGrp ` X )
6		cayleylem1.f	. . . 4 |- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
7		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( x = g /\ y = a ) -> ( x .+ y ) = ( g .+ a ) )
8		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( g .+ a ) e. _V
9	7, 3, 8	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( g e. X /\ a e. X ) -> ( g ( x e. X , y e. X |-> ( x .+ y ) ) a ) = ( g .+ a ) )
10	9	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( g e. X -> ( a e. X |-> ( g ( x e. X , y e. X |-> ( x .+ y ) ) a ) ) = ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
11	10	mpteq2ia 4740	. . . 4 |- ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g ( x e. X , y e. X |-> ( x .+ y ) ) a ) ) ) = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g .+ a ) ) )
12	6, 11	eqtr4i 2647	. . 3 |- F = ( g e. X |-> ( a e. X |-> ( g ( x e. X , y e. X |-> ( x .+ y ) ) a ) ) )
13	1, 5, 12	galactghm 17823	. 2 |- ( ( x e. X , y e. X |-> ( x .+ y ) ) e. ( G GrpAct X ) -> F e. ( G GrpHom H ) )
14	4, 13	syl 17	1 |- ( G e. Grp -> F e. ( G GrpHom H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   GrpAct cga 17722   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-ga 17723  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  cayleylem2  17833  cayley  17834