Theorem galactghm 17823

Description: The currying of a group action is a group homomorphism between the group G and the symmetric group ( SymGrp ` Y ). (Contributed by FL, 17-May-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
galactghm.x	|- X = ( Base ` G )
galactghm.h	|- H = ( SymGrp ` Y )
galactghm.f	|- F = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
galactghm	|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> F e. ( G GrpHom H ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, .(+) , y   x, X, y   x, H   x, Y, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)   H( y)

Proof of Theorem galactghm

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		galactghm.x	. 2 |- X = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` H ) = ( Base ` H )
3		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` H ) = ( +g ` H )
5		gagrp 17725	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
6		gaset 17726	. . 3 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> Y e. _V )
7		galactghm.h	. . . 4 |- H = ( SymGrp ` Y )
8	7	symggrp 17820	. . 3 |- ( Y e. _V -> H e. Grp )
9	6, 8	syl 17	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> H e. Grp )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) = ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) )
11	1, 10	gapm 17739	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) : Y -1-1-onto-> Y )
12	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. X ) -> Y e. _V )
13	7, 2	elsymgbas 17802	. . . . 5 |- ( Y e. _V -> ( ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) e. ( Base ` H ) <-> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
14	12, 13	syl 17	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) e. ( Base ` H ) <-> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) : Y -1-1-onto-> Y ) )
15	11, 14	mpbird 247	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. X ) -> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) e. ( Base ` H ) )
16		galactghm.f	. . 3 |- F = ( x e. X |-> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) )
17	15, 16	fmptd 6385	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
18		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( z e. X /\ w e. X /\ y e. Y ) <-> ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ y e. Y ) )
19	1, 3	gaass 17730	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X /\ y e. Y ) ) -> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) = ( z .(+) ( w .(+) y ) ) )
20	18, 19	sylan2br 493	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( ( z e. X /\ w e. X ) /\ y e. Y ) ) -> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) = ( z .(+) ( w .(+) y ) ) )
21	20	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) = ( z .(+) ( w .(+) y ) ) )
22	21	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( y e. Y |-> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) ) = ( y e. Y |-> ( z .(+) ( w .(+) y ) ) ) )
23	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> G e. Grp )
24		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> z e. X )
25		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> w e. X )
26	1, 3	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( z ( +g ` G ) w ) e. X )
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( z ( +g ` G ) w ) e. X )
28	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> Y e. _V )
29		mptexg 6484	. . . . 5 |- ( Y e. _V -> ( y e. Y |-> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) ) e. _V )
30	28, 29	syl 17	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( y e. Y |-> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) ) e. _V )
31		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( x = ( z ( +g ` G ) w ) -> ( x .(+) y ) = ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) )
32	31	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( x = ( z ( +g ` G ) w ) -> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) = ( y e. Y |-> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) ) )
33	32, 16	fvmptg 6280	. . . 4 |- ( ( ( z ( +g ` G ) w ) e. X /\ ( y e. Y |-> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) ) e. _V ) -> ( F ` ( z ( +g ` G ) w ) ) = ( y e. Y |-> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) ) )
34	27, 30, 33	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` G ) w ) ) = ( y e. Y |-> ( ( z ( +g ` G ) w ) .(+) y ) ) )
35	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> F : X --> ( Base ` H ) )
36	35, 24	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) e. ( Base ` H ) )
37	35, 25	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) e. ( Base ` H ) )
38	7, 2, 4	symgov 17810	. . . . 5 |- ( ( ( F ` z ) e. ( Base ` H ) /\ ( F ` w ) e. ( Base ` H ) ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` H ) ( F ` w ) ) = ( ( F ` z ) o. ( F ` w ) ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` H ) ( F ` w ) ) = ( ( F ` z ) o. ( F ` w ) ) )
40	1	gaf 17728	. . . . . . 7 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ y e. Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
42	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ y e. Y ) -> w e. X )
43		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ y e. Y ) -> y e. Y )
44	41, 42, 43	fovrnd 6806	. . . . 5 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) /\ y e. Y ) -> ( w .(+) y ) e. Y )
45		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( Y e. _V -> ( y e. Y |-> ( w .(+) y ) ) e. _V )
46	28, 45	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( y e. Y |-> ( w .(+) y ) ) e. _V )
47		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( x .(+) y ) = ( w .(+) y ) )
48	47	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 |- ( x = w -> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) = ( y e. Y |-> ( w .(+) y ) ) )
49	48, 16	fvmptg 6280	. . . . . 6 |- ( ( w e. X /\ ( y e. Y |-> ( w .(+) y ) ) e. _V ) -> ( F ` w ) = ( y e. Y |-> ( w .(+) y ) ) )
50	25, 46, 49	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` w ) = ( y e. Y |-> ( w .(+) y ) ) )
51		mptexg 6484	. . . . . . . 8 |- ( Y e. _V -> ( y e. Y |-> ( z .(+) y ) ) e. _V )
52	28, 51	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( y e. Y |-> ( z .(+) y ) ) e. _V )
53		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x .(+) y ) = ( z .(+) y ) )
54	53	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( y e. Y |-> ( x .(+) y ) ) = ( y e. Y |-> ( z .(+) y ) ) )
55	54, 16	fvmptg 6280	. . . . . . 7 |- ( ( z e. X /\ ( y e. Y |-> ( z .(+) y ) ) e. _V ) -> ( F ` z ) = ( y e. Y |-> ( z .(+) y ) ) )
56	24, 52, 55	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) = ( y e. Y |-> ( z .(+) y ) ) )
57		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( z .(+) y ) = ( z .(+) x ) )
58	57	cbvmptv 4750	. . . . . 6 |- ( y e. Y |-> ( z .(+) y ) ) = ( x e. Y |-> ( z .(+) x ) )
59	56, 58	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` z ) = ( x e. Y |-> ( z .(+) x ) ) )
60		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = ( w .(+) y ) -> ( z .(+) x ) = ( z .(+) ( w .(+) y ) ) )
61	44, 50, 59, 60	fmptco 6396	. . . 4 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) o. ( F ` w ) ) = ( y e. Y |-> ( z .(+) ( w .(+) y ) ) ) )
62	39, 61	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( F ` z ) ( +g ` H ) ( F ` w ) ) = ( y e. Y |-> ( z .(+) ( w .(+) y ) ) ) )
63	22, 34, 62	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( z e. X /\ w e. X ) ) -> ( F ` ( z ( +g ` G ) w ) ) = ( ( F ` z ) ( +g ` H ) ( F ` w ) ) )
64	1, 2, 3, 4, 5, 9, 17, 63	isghmd 17669	1 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> F e. ( G GrpHom H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   GrpAct cga 17722   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-ga 17723  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  cayleylem1  17832