Theorem cfinfil 21697

Description: Relative complements of the finite parts of an infinite set is a filter. When A = NN the set of the relative complements is called Frechet's filter and is used to define the concept of limit of a sequence. (Contributed by FL, 14-Jul-2008.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfinfil	|- ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } e. ( Fil ` X ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem cfinfil

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difeq2 3722	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A \ x ) = ( A \ y ) )
2	1	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A \ x ) e. Fin <-> ( A \ y ) e. Fin ) )
3	2	elrab 3363	. . . 4 |- ( y e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } <-> ( y e. ~P X /\ ( A \ y ) e. Fin ) )
4		selpw 4165	. . . . 5 |- ( y e. ~P X <-> y C_ X )
5	4	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( y e. ~P X /\ ( A \ y ) e. Fin ) <-> ( y C_ X /\ ( A \ y ) e. Fin ) )
6	3, 5	bitri 264	. . 3 |- ( y e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } <-> ( y C_ X /\ ( A \ y ) e. Fin ) )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> ( y e. { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } <-> ( y C_ X /\ ( A \ y ) e. Fin ) ) )
8		elex 3212	. . 3 |- ( X e. V -> X e. _V )
9	8	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> X e. _V )
10		ssdif0 3942	. . . . 5 |- ( A C_ X <-> ( A \ X ) = (/) )
11		0fin 8188	. . . . . 6 |- (/) e. Fin
12		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( ( A \ X ) = (/) -> ( ( A \ X ) e. Fin <-> (/) e. Fin ) )
13	11, 12	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( ( A \ X ) = (/) -> ( A \ X ) e. Fin )
14	10, 13	sylbi 207	. . . 4 |- ( A C_ X -> ( A \ X ) e. Fin )
15		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( A \ y ) = ( A \ X ) )
16	15	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ X ) e. Fin ) )
17	16	sbcieg 3468	. . . . 5 |- ( X e. V -> ( [. X / y ]. ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ X ) e. Fin ) )
18	17	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ ( A \ X ) e. Fin ) -> [. X / y ]. ( A \ y ) e. Fin )
19	14, 18	sylan2 491	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A C_ X ) -> [. X / y ]. ( A \ y ) e. Fin )
20	19	3adant3 1081	. 2 |- ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> [. X / y ]. ( A \ y ) e. Fin )
21		0ex 4790	. . . . . 6 |- (/) e. _V
22		difeq2 3722	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> ( A \ y ) = ( A \ (/) ) )
23	22	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ (/) ) e. Fin ) )
24	21, 23	sbcie 3470	. . . . 5 |- ( [. (/) / y ]. ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ (/) ) e. Fin )
25		dif0 3950	. . . . . 6 |- ( A \ (/) ) = A
26	25	eleq1i 2692	. . . . 5 |- ( ( A \ (/) ) e. Fin <-> A e. Fin )
27	24, 26	sylbb 209	. . . 4 |- ( [. (/) / y ]. ( A \ y ) e. Fin -> A e. Fin )
28	27	con3i 150	. . 3 |- ( -. A e. Fin -> -. [. (/) / y ]. ( A \ y ) e. Fin )
29	28	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> -. [. (/) / y ]. ( A \ y ) e. Fin )
30		sscon 3744	. . . . 5 |- ( w C_ z -> ( A \ z ) C_ ( A \ w ) )
31		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( A \ w ) e. Fin /\ ( A \ z ) C_ ( A \ w ) ) -> ( A \ z ) e. Fin )
32	31	expcom 451	. . . . 5 |- ( ( A \ z ) C_ ( A \ w ) -> ( ( A \ w ) e. Fin -> ( A \ z ) e. Fin ) )
33	30, 32	syl 17	. . . 4 |- ( w C_ z -> ( ( A \ w ) e. Fin -> ( A \ z ) e. Fin ) )
34		vex 3203	. . . . 5 |- w e. _V
35		difeq2 3722	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( A \ y ) = ( A \ w ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( y = w -> ( ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ w ) e. Fin ) )
37	34, 36	sbcie 3470	. . . 4 |- ( [. w / y ]. ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ w ) e. Fin )
38		vex 3203	. . . . 5 |- z e. _V
39		difeq2 3722	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( A \ y ) = ( A \ z ) )
40	39	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ z ) e. Fin ) )
41	38, 40	sbcie 3470	. . . 4 |- ( [. z / y ]. ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ z ) e. Fin )
42	33, 37, 41	3imtr4g 285	. . 3 |- ( w C_ z -> ( [. w / y ]. ( A \ y ) e. Fin -> [. z / y ]. ( A \ y ) e. Fin ) )
43	42	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) /\ z C_ X /\ w C_ z ) -> ( [. w / y ]. ( A \ y ) e. Fin -> [. z / y ]. ( A \ y ) e. Fin ) )
44		difindi 3881	. . . . 5 |- ( A \ ( z i^i w ) ) = ( ( A \ z ) u. ( A \ w ) )
45		unfi 8227	. . . . 5 |- ( ( ( A \ z ) e. Fin /\ ( A \ w ) e. Fin ) -> ( ( A \ z ) u. ( A \ w ) ) e. Fin )
46	44, 45	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( ( A \ z ) e. Fin /\ ( A \ w ) e. Fin ) -> ( A \ ( z i^i w ) ) e. Fin )
47	46	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) /\ z C_ X /\ w C_ X ) -> ( ( ( A \ z ) e. Fin /\ ( A \ w ) e. Fin ) -> ( A \ ( z i^i w ) ) e. Fin ) )
48	41, 37	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( [. z / y ]. ( A \ y ) e. Fin /\ [. w / y ]. ( A \ y ) e. Fin ) <-> ( ( A \ z ) e. Fin /\ ( A \ w ) e. Fin ) )
49	38	inex1 4799	. . . 4 |- ( z i^i w ) e. _V
50		difeq2 3722	. . . . 5 |- ( y = ( z i^i w ) -> ( A \ y ) = ( A \ ( z i^i w ) ) )
51	50	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( y = ( z i^i w ) -> ( ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ ( z i^i w ) ) e. Fin ) )
52	49, 51	sbcie 3470	. . 3 |- ( [. ( z i^i w ) / y ]. ( A \ y ) e. Fin <-> ( A \ ( z i^i w ) ) e. Fin )
53	47, 48, 52	3imtr4g 285	. 2 |- ( ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) /\ z C_ X /\ w C_ X ) -> ( ( [. z / y ]. ( A \ y ) e. Fin /\ [. w / y ]. ( A \ y ) e. Fin ) -> [. ( z i^i w ) / y ]. ( A \ y ) e. Fin ) )
54	7, 9, 20, 29, 43, 53	isfild 21662	1 |- ( ( X e. V /\ A C_ X /\ -. A e. Fin ) -> { x e. ~P X | ( A \ x ) e. Fin } e. ( Fil ` X ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fbas 19743  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  ufinffr  21733