Theorem clwwlks1loop 26908

Description: A closed walk of length 1 is a loop. See also clwlkl1loop 26678. (Contributed by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlks1loop	|- ( ( W e. (ClWWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = 1 ) -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) )

Proof of Theorem clwwlks1loop

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2622	. . . 4 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
3	1, 2	isclwwlks 26880	. . 3 |- ( W e. (ClWWalks ` G ) <-> ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ W =/= (/) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` G ) /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) )
4		lsw1 13354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = 1 ) -> ( lastS ` W ) = ( W ` 0 ) )
5	4	preq1d 4274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = 1 ) -> { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } = { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } )
6	5	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = 1 ) -> ( { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) <-> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) )
7	6	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ ( # ` W ) = 1 ) -> ( { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) )
8	7	ex 450	. . . . . . 7 |- ( W e. Word (Vtx ` G ) -> ( ( # ` W ) = 1 -> ( { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) ) )
9	8	com23 86	. . . . . 6 |- ( W e. Word (Vtx ` G ) -> ( { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) -> ( ( # ` W ) = 1 -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) ) )
10	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ W =/= (/) ) -> ( { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) -> ( ( # ` W ) = 1 -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) ) )
11	10	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ W =/= (/) ) /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) -> ( ( # ` W ) = 1 -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) )
12	11	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( ( W e. Word (Vtx ` G ) /\ W =/= (/) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( ( # ` W ) - 1 ) ) { ( W ` i ) , ( W ` ( i + 1 ) ) } e. (Edg ` G ) /\ { ( lastS ` W ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) -> ( ( # ` W ) = 1 -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) )
13	3, 12	sylbi 207	. 2 |- ( W e. (ClWWalks ` G ) -> ( ( # ` W ) = 1 -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) ) )
14	13	imp 445	1 |- ( ( W e. (ClWWalks ` G ) /\ ( # ` W ) = 1 ) -> { ( W ` 0 ) , ( W ` 0 ) } e. (Edg ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   lastS clsw 13292  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  ClWWalkscclwwlks 26875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-clwwlks 26877

This theorem is referenced by:  umgrclwwlksge2  26912