Theorem cphngp 22973

Description: A subcomplex pre-Hilbert space is a normed group. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cphngp	|- ( W e. CPreHil -> W e. NrmGrp )

Proof of Theorem cphngp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphnlm 22972	. 2 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmMod )
2		nlmngp 22481	. 2 |- ( W e. NrmMod -> W e. NrmGrp )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  NrmGrpcngp 22382  NrmModcnlm 22385   CPreHilccph 22966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-nlm 22391  df-cph 22968

This theorem is referenced by:  cphnmf  22995  reipcl  22997  ipge0  22998  cphipval2  23040  4cphipval2  23041  cphipval  23042  ipcn  23045  cnmpt1ip  23046  cnmpt2ip  23047  clsocv  23049  minveclem1  23195  minveclem2  23197  minveclem3b  23199  minveclem3  23200  minveclem4a  23201  minveclem4  23203  minveclem6  23205  minveclem7  23206  pjthlem1  23208  rrxngp  40502