Theorem minveclem4 23203

Description: Lemma for minvec 23207. The convergent point of the Cauchy sequence F attains the minimum distance, and so is closer to A than any other point in Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minvec.f	|- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
minvec.p	|- P = U. ( J fLim ( X filGen F ) )
minvec.t	|- T = ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem4	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, r, y, A   J, r, x, y   x, P, y   x, F, y   x, N, y   ph, r, x, y   x, R, y   x, U, y   X, r, x, y   Y, r, x, y   D, r, x, y   S, r, x, y   T, r, y

Allowed substitution hints:   P( r)   R( r)   T( x)   U( r)   F( r)   .- ( r)   N( r)

Proof of Theorem minveclem4

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3834	. . 3 |- ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) C_ Y
2		minvec.x	. . . 4 |- X = ( Base ` U )
3		minvec.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` U )
4		minvec.n	. . . 4 |- N = ( norm ` U )
5		minvec.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. CPreHil )
6		minvec.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
7		minvec.w	. . . 4 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
8		minvec.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
9		minvec.j	. . . 4 |- J = ( TopOpen ` U )
10		minvec.r	. . . 4 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
11		minvec.s	. . . 4 |- S = inf ( R , RR , < )
12		minvec.d	. . . 4 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
13		minvec.f	. . . 4 |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
14		minvec.p	. . . 4 |- P = U. ( J fLim ( X filGen F ) )
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	minveclem4a 23201	. . 3 |- ( ph -> P e. ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) )
16	1, 15	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> P e. Y )
17	12	oveqi 6663	. . . . . . 7 |- ( A D P ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) P )
18	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	minveclem4b 23202	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. X )
19	8, 18	ovresd 6801	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) P ) = ( A ( dist ` U ) P ) )
20	17, 19	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) = ( A ( dist ` U ) P ) )
21		cphngp 22973	. . . . . . . 8 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
22	5, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
23		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
24	4, 2, 3, 23	ngpds 22408	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ P e. X ) -> ( A ( dist ` U ) P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
25	22, 8, 18, 24	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
26	20, 25	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
27	26	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
28		ngpms 22404	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
29	2, 12	msmet 22262	. . . . . . . 8 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
30	22, 28, 29	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
31		metcl 22137	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ P e. X ) -> ( A D P ) e. RR )
32	30, 8, 18, 31	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) e. RR )
33	32	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) e. RR )
34	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4c 23196	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
35	34	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S e. RR )
36	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmGrp )
37		cphlmod 22974	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
38	5, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LMod )
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. LMod )
40	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
42	2, 41	lssss 18937	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
43	6, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
44	43	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
45	2, 3	lmodvsubcl 18908	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A .- y ) e. X )
46	39, 40, 44, 45	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A .- y ) e. X )
47	2, 4	nmcl 22420	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- y ) e. X ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
48	36, 46, 47	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
49	34, 32	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> -. ( A D P ) <_ S ) )
50	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	minveclem3b 23199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )
51		fbsspw 21636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F e. ( fBas ` Y ) -> F C_ ~P Y )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F C_ ~P Y )
53		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Y C_ X <-> ~P Y C_ ~P X )
54	43, 53	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ~P Y C_ ~P X )
55	52, 54	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F C_ ~P X )
56		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Base ` U ) e. _V
57	2, 56	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X e. _V
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. _V )
59		fbasweak 21669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F e. ( fBas ` Y ) /\ F C_ ~P X /\ X e. _V ) -> F e. ( fBas ` X ) )
60	50, 55, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F e. ( fBas ` X ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> F e. ( fBas ` X ) )
62		fgcl 21682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )
64		ssfg 21676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F C_ ( X filGen F ) )
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> F C_ ( X filGen F ) )
66		minvec.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- T = ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) )
67	32, 34	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( A D P ) + S ) e. RR )
68	67	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
69	68	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
70	34	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
71	69, 70	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
73	34, 32, 34	ltadd1d 10620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> ( S + S ) < ( ( A D P ) + S ) ) )
74	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> S e. CC )
75	74	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 2 x. S ) = ( S + S ) )
76	75	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> ( S + S ) < ( ( A D P ) + S ) ) )
77		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 2 e. RR
78		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 < 2
79	77, 78	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
81		ltmuldiv2 10897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
82	34, 67, 80, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 2 x. S ) < ( ( A D P ) + S ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
83	73, 76, 82	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
84	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 23195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
85	84	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
86	84	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R C_ RR )
87	84	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> R =/= (/) )
88		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. RR
89		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
90	89	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
91	90	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
92	88, 85, 91	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
93	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 0 e. RR )
94		infregelb 11007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
95	86, 87, 92, 93, 94	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
96	85, 95	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
97	96, 11	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 <_ S )
98		metge0 22150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ P e. X ) -> 0 <_ ( A D P ) )
99	30, 8, 18, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 0 <_ ( A D P ) )
100	32, 34, 99, 97	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 0 <_ ( ( A D P ) + S ) )
101		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ 0 <_ ( ( A D P ) + S ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
102	67, 100, 80, 101	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
103	34, 68, 97, 102	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( S < ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
104	70, 69	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) < ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
105	83, 103, 104	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) <-> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) )
106	105	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> 0 < ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
107	72, 106	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR+ )
108	66, 107	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> T e. RR+ )
109	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
110		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V )
112		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
113		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( r = T -> ( ( S ^ 2 ) + r ) = ( ( S ^ 2 ) + T ) )
114	113	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( r = T -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) ) )
115	114	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = T -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } )
116	112, 115	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T e. RR+ /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. _V ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
117	108, 111, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
118	117, 13	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. F )
119	65, 118	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ( X filGen F ) )
120		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X )
122	66	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( S ^ 2 ) + T ) = ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
123	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
124	123	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. CC )
125	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
126	125	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. RR )
127	126	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) e. CC )
128	124, 127	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
129	122, 128	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + T ) = ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) )
130	129	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
131	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
132	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
133	44	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
134		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) e. RR )
135	131, 132, 133, 134	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
136		metge0 22150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( A D y ) )
137	131, 132, 133, 136	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( A D y ) )
138	102	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
139	135, 125, 137, 138	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) ) )
140	130, 139	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) <-> ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
141	140	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } = { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
142	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> Y C_ X )
143		rabss2 3685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y C_ X -> { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
145	141, 144	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
146		filss 21657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) /\ ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } e. ( X filGen F ) /\ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } C_ X /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + T ) } C_ { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) )
147	63, 119, 121, 145, 146	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) )
148		flimclsi 21782	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( X filGen F ) -> ( J fLim ( X filGen F ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( J fLim ( X filGen F ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
150		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J fLim ( X filGen F ) ) i^i Y ) C_ ( J fLim ( X filGen F ) )
151	150, 15	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P e. ( J fLim ( X filGen F ) ) )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. ( J fLim ( X filGen F ) ) )
153	149, 152	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) )
154		ngpxms 22405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. NrmGrp -> U e. *MetSp )
155	2, 12	xmsxmet 22261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. *MetSp -> D e. ( *Met ` X ) )
156	22, 154, 155	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
158	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> A e. X )
159	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR )
160	159	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR* )
161		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
162		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) }
163	161, 162	blcld 22310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ A e. X /\ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) e. RR* ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
164	157, 158, 160, 163	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
165	9, 2, 12	xmstopn 22256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. *MetSp -> J = ( MetOpen ` D ) )
166	22, 154, 165	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` D ) )
167	166	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> J = ( MetOpen ` D ) )
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( Clsd ` J ) = ( Clsd ` ( MetOpen ` D ) ) )
169	164, 168	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` J ) )
170		cldcls 20846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( ( cls ` J ) ` { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } ) = { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
172	153, 171	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } )
173		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = P -> ( A D y ) = ( A D P ) )
174	173	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = P -> ( ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
175	174	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } <-> ( P e. X /\ ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
176	175	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. { y e. X | ( A D y ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) } -> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
177	172, 176	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) )
178	32, 34, 32	leadd2d 10622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A D P ) <_ S <-> ( ( A D P ) + ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) ) )
179	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A D P ) e. CC )
180	179	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( A D P ) ) = ( ( A D P ) + ( A D P ) ) )
181	180	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( ( A D P ) + ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) ) )
182		lemuldiv2 10904	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A D P ) e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
183	79, 182	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A D P ) e. RR /\ ( ( A D P ) + S ) e. RR ) -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
184	32, 67, 183	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A D P ) ) <_ ( ( A D P ) + S ) <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
185	178, 181, 184	3bitr2d 296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A D P ) <_ S <-> ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) )
186	185	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( A D P ) <_ ( ( ( A D P ) + S ) / 2 ) ) -> ( A D P ) <_ S )
187	177, 186	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ S < ( A D P ) ) -> ( A D P ) <_ S )
188	187	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S < ( A D P ) -> ( A D P ) <_ S ) )
189	49, 188	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( A D P ) <_ S -> ( A D P ) <_ S ) )
190	189	pm2.18d 124	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A D P ) <_ S )
191	190	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) <_ S )
192	86	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> R C_ RR )
193	92	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
194		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. Y )
195		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
196		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
197	196	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Y /\ ( N ` ( A .- y ) ) e. _V ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
198	194, 195, 197	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
199	198, 10	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. R )
200		infrelb 11008	. . . . . . 7 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A .- y ) ) e. R ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
201	192, 193, 199, 200	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
202	11, 201	syl5eqbr 4688	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> S <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
203	33, 35, 48, 191, 202	letrd 10194	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A D P ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
204	27, 203	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
205	204	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
206		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( A .- x ) = ( A .- P ) )
207	206	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = P -> ( N ` ( A .- x ) ) = ( N ` ( A .- P ) ) )
208	207	breq1d 4663	. . . 4 |- ( x = P -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
209	208	ralbidv 2986	. . 3 |- ( x = P -> ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
210	209	rspcev 3309	. 2 |- ( ( P e. Y /\ A. y e. Y ( N ` ( A .- P ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
211	16, 205, 210	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   ^cexp 12860   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   MetOpencmopn 19736   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Filcfil 21649   fLim cflim 21738   *MetSpcxme 22122   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   CPreHilccph 22966  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-haus 21119  df-fil 21650  df-flim 21743  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132

This theorem is referenced by:  minveclem5  23204