Theorem minveclem1 23195

Description: Lemma for minvec 23207. The set of all distances from points of Y to A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem1	|- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )

Distinct variable groups:   y, w, .-   w, A, y   w, J, y   w, N, y   ph, w, y   w, R, y   w, U, y   w, X, y   w, Y, y

Proof of Theorem minveclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.r	. . 3 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
2		minvec.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. CPreHil )
3		cphngp 22973	. . . . . . . 8 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. NrmGrp )
6		cphlmod 22974	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
7	2, 6	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LMod )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> U e. LMod )
9		minvec.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> A e. X )
11		minvec.y	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
12		minvec.x	. . . . . . . . . 10 |- X = ( Base ` U )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
14	12, 13	lssss 18937	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
16	15	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> y e. X )
17		minvec.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` U )
18	12, 17	lmodvsubcl 18908	. . . . . . 7 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A .- y ) e. X )
19	8, 10, 16, 18	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( A .- y ) e. X )
20		minvec.n	. . . . . . 7 |- N = ( norm ` U )
21	12, 20	nmcl 22420	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- y ) e. X ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
22	5, 19, 21	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A .- y ) ) e. RR )
23		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
24	22, 23	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) : Y --> RR )
25		frn 6053	. . . 4 |- ( ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) : Y --> RR -> ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) C_ RR )
26	24, 25	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) C_ RR )
27	1, 26	syl5eqss 3649	. 2 |- ( ph -> R C_ RR )
28	13	lssn0 18941	. . . 4 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y =/= (/) )
29	11, 28	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Y =/= (/) )
30	1	eqeq1i 2627	. . . . 5 |- ( R = (/) <-> ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = (/) )
31		dm0rn0 5342	. . . . 5 |- ( dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = (/) <-> ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = (/) )
32		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
33	32, 23	dmmpti 6023	. . . . . 6 |- dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = Y
34	33	eqeq1i 2627	. . . . 5 |- ( dom ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = (/) <-> Y = (/) )
35	30, 31, 34	3bitr2i 288	. . . 4 |- ( R = (/) <-> Y = (/) )
36	35	necon3bii 2846	. . 3 |- ( R =/= (/) <-> Y =/= (/) )
37	29, 36	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> R =/= (/) )
38	12, 20	nmge0 22421	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- y ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
39	5, 19, 38	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
40	39	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. Y 0 <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
41	32	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
42		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( w = ( N ` ( A .- y ) ) -> ( 0 <_ w <-> 0 <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
43	23, 42	ralrnmpt 6368	. . . . 5 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) 0 <_ w <-> A. y e. Y 0 <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
44	41, 43	ax-mp 5	. . . 4 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) 0 <_ w <-> A. y e. Y 0 <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
45	40, 44	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) 0 <_ w )
46	1	raleqi 3142	. . 3 |- ( A. w e. R 0 <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) 0 <_ w )
47	45, 46	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
48	27, 37, 47	3jca 1242	1 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   CPreHilccph 22966  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-cph 22968

This theorem is referenced by:  minveclem4c  23196  minveclem2  23197  minveclem3b  23199  minveclem4  23203  minveclem6  23205