Theorem minveclem2 23197

Description: Lemma for minvec 23207. Any two points K and L in Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minveclem2.1	|- ( ph -> B e. RR )
minveclem2.2	|- ( ph -> 0 <_ B )
minveclem2.3	|- ( ph -> K e. Y )
minveclem2.4	|- ( ph -> L e. Y )
minveclem2.5	|- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
minveclem2.6	|- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem2	|- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Distinct variable groups:   y, .-   y, A   y, J   y, K   y, N   ph, y   y, R   y, U   y, X   y, Y   y, D   y, S   y, L

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem minveclem2

Dummy variables w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 11097	. . . . . 6 |- 4 e. RR
2		minvec.x	. . . . . . . 8 |- X = ( Base ` U )
3		minvec.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` U )
4		minvec.n	. . . . . . . 8 |- N = ( norm ` U )
5		minvec.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. CPreHil )
6		minvec.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
7		minvec.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
8		minvec.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
9		minvec.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` U )
10		minvec.r	. . . . . . . 8 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
11		minvec.s	. . . . . . . 8 |- S = inf ( R , RR , < )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem4c 23196	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR )
13	12	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
14		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( S ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
15	1, 13, 14	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
16		cphngp 22973	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
17	5, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
18		ngpms 22404	. . . . . . . . 9 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. MetSp )
20		minvec.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
21	2, 20	msmet 22262	. . . . . . . 8 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
24	2, 23	lssss 18937	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
25	6, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
26		minveclem2.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Y )
27	25, 26	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. X )
28		minveclem2.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. Y )
29	25, 28	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. X )
30		metcl 22137	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K D L ) e. RR )
31	22, 27, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K D L ) e. RR )
32	31	resqcld 13035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) e. RR )
33	15, 32	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
34		cphlmod 22974	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
35	5, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. LMod )
36		cphclm 22989	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. CPreHil -> U e. CMod )
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U e. CMod )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` U ) = (Scalar ` U )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` U ) ) = ( Base ` (Scalar ` U ) )
40	38, 39	clmzss 22878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. CMod -> ZZ C_ ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
41	37, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ZZ C_ ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
42		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
44	41, 43	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
45		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
47	38, 39	cphreccl 22981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. CPreHil /\ 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ 2 =/= 0 ) -> ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
48	5, 44, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
50	49, 23	lssvacl 18954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. LMod /\ Y e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( K e. Y /\ L e. Y ) ) -> ( K ( +g ` U ) L ) e. Y )
51	35, 6, 26, 28, 50	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) e. Y )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .s ` U ) = ( .s ` U )
53	38, 52, 39, 23	lssvscl 18955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( U e. LMod /\ Y e. ( LSubSp ` U ) ) /\ ( ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. Y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y )
54	35, 6, 48, 51, 53	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y )
55	25, 54	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. X )
56	2, 3	lmodvsubcl 18908	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. X ) -> ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X )
57	35, 8, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X )
58	2, 4	nmcl 22420	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
59	17, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
60	59	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
61		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
62	1, 60, 61	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
63	62, 32	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
64		minveclem2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
65	13, 64	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR )
66		remulcl 10021	. . . . 5 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
67	1, 65, 66	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
68	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveclem1 23195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
69	68	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
70	68	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R C_ RR )
71	68	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R =/= (/) )
72		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
73		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
74	73	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
75	74	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
76	72, 69, 75	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
77	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
78		infregelb 11007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
79	70, 71, 76, 77, 78	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
80	69, 79	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
81	80, 11	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
83		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( A .- y ) = ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( N ` ( A .- y ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
85	84	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) -> ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
86	85	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) e. Y /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) -> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
87	54, 82, 86	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
89		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
90	88, 89	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) <-> E. y e. Y ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
91	87, 90	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) )
92	91, 10	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. R )
93		infrelb 11008	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. R ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
94	70, 76, 92, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
95	11, 94	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
96		le2sq2 12939	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. RR /\ S <_ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ) -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
97	12, 81, 59, 95, 96	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98		4pos 11116	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
99	1, 98	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. RR /\ 0 < 4 )
100		lemul2 10876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
101	99, 100	mp3an3 1413	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
102	13, 60, 101	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
104	15, 62, 32, 103	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105		metcl 22137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A D K ) e. RR )
106	22, 8, 27, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) e. RR )
107	106	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) e. RR )
108		metcl 22137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A D L ) e. RR )
109	22, 8, 29, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) e. RR )
110	109	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) e. RR )
111		minveclem2.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
112		minveclem2.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
113	107, 110, 65, 65, 111, 112	le2addd 10646	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
114	65	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. CC )
115	114	2timesd 11275	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
116	113, 115	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
117	107, 110	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
118		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
119		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
120	118, 65, 119	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
121		2pos 11112	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
122	118, 121	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
123		lemul2 10876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
124	122, 123	mp3an3 1413	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
125	117, 120, 124	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
126	116, 125	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
127	2, 3	lmodvsubcl 18908	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A .- K ) e. X )
128	35, 8, 27, 127	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A .- K ) e. X )
129	2, 3	lmodvsubcl 18908	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A .- L ) e. X )
130	35, 8, 29, 129	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A .- L ) e. X )
131	2, 49, 3, 4	nmpar 23039	. . . . . . 7 |- ( ( U e. CPreHil /\ ( A .- K ) e. X /\ ( A .- L ) e. X ) -> ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
132	5, 128, 130, 131	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
134	59	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. CC )
135		sqmul 12926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
136	133, 134, 135	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
137		sq2 12960	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
138	137	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
139	136, 138	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
140	2, 4, 52, 38, 39	cphnmvs 22990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. CPreHil /\ 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
141	5, 44, 57, 140	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
142		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 2
143		absid 14036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
144	118, 142, 143	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 2 ) = 2
145	144	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
146	141, 145	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) )
147	2, 52, 38, 39, 3, 35, 44, 8, 55	lmodsubdi 18920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( ( 2 ( .s ` U ) A ) .- ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
148		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (.g ` U ) = (.g ` U )
149	2, 148, 49	mulg2 17550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. X -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( A ( +g ` U ) A ) )
150	8, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( A ( +g ` U ) A ) )
151	2, 148, 52	clmmulg 22901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. CMod /\ 2 e. ZZ /\ A e. X ) -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
152	37, 43, 8, 151	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 (.g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
153	150, 152	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ( +g ` U ) A ) = ( 2 ( .s ` U ) A ) )
154	2, 49	lmodvacl 18877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. LMod /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K ( +g ` U ) L ) e. X )
155	35, 27, 29, 154	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) e. X )
156	2, 52	clmvs1 22893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. CMod /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. X ) -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( K ( +g ` U ) L ) )
157	37, 155, 156	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( K ( +g ` U ) L ) )
158	133, 45	recidi 10756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
159	158	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) )
160	2, 38, 52, 39	clmvsass 22889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. CMod /\ ( 2 e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. ( Base ` (Scalar ` U ) ) /\ ( K ( +g ` U ) L ) e. X ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
161	37, 44, 48, 155, 160	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
162	159, 161	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
163	157, 162	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +g ` U ) L ) = ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) )
164	153, 163	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( 2 ( .s ` U ) A ) .- ( 2 ( .s ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) )
165		lmodabl 18910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. LMod -> U e. Abel )
166	35, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. Abel )
167	2, 49, 3	ablsub4 18218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Abel /\ ( A e. X /\ A e. X ) /\ ( K e. X /\ L e. X ) ) -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
168	166, 8, 8, 27, 29, 167	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +g ` U ) A ) .- ( K ( +g ` U ) L ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
169	147, 164, 168	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) = ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) )
170	169	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .s ` U ) ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) )
171	146, 170	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) )
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
173	139, 172	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
174		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
175	4, 2, 3, 174	ngpdsr 22409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmGrp /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
176	17, 27, 29, 175	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
177	20	oveqi 6663	. . . . . . . . . 10 |- ( K D L ) = ( K ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L )
178	27, 29	ovresd 6801	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( K ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L ) = ( K ( dist ` U ) L ) )
179	177, 178	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K D L ) = ( K ( dist ` U ) L ) )
180	2, 3, 166, 8, 27, 29	ablnnncan1 18229	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) = ( L .- K ) )
181	180	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) = ( N ` ( L .- K ) ) )
182	176, 179, 181	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K D L ) = ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) )
183	182	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) )
184	173, 183	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( ( A .- K ) ( +g ` U ) ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A .- K ) .- ( A .- L ) ) ) ^ 2 ) ) )
185	20	oveqi 6663	. . . . . . . . . . 11 |- ( A D K ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) K )
186	8, 27	ovresd 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) K ) = ( A ( dist ` U ) K ) )
187	185, 186	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A D K ) = ( A ( dist ` U ) K ) )
188	4, 2, 3, 174	ngpds 22408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A ( dist ` U ) K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
189	17, 8, 27, 188	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
190	187, 189	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) = ( N ` ( A .- K ) ) )
191	190	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) )
192	20	oveqi 6663	. . . . . . . . . . 11 |- ( A D L ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L )
193	8, 29	ovresd 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) L ) = ( A ( dist ` U ) L ) )
194	192, 193	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A D L ) = ( A ( dist ` U ) L ) )
195	4, 2, 3, 174	ngpds 22408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
196	17, 8, 29, 195	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ( dist ` U ) L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
197	194, 196	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) = ( N ` ( A .- L ) ) )
198	197	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) )
199	191, 198	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) )
200	199	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A .- K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A .- L ) ) ^ 2 ) ) ) )
201	132, 184, 200	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
202		2t2e4 11177	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
203	202	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) )
204		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. CC )
205	204, 204, 114	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
206	203, 205	syl5eqr 2670	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
207	126, 201, 206	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A .- ( ( 1 / 2 ) ( .s ` U ) ( K ( +g ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
208	33, 63, 67, 104, 207	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
209		4cn 11098	. . . . 5 |- 4 e. CC
210	209	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 4 e. CC )
211	13	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. CC )
212	64	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
213	210, 211, 212	adddid 10064	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
214	208, 213	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
215		remulcl 10021	. . . 4 |- ( ( 4 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 4 x. B ) e. RR )
216	1, 64, 215	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. B ) e. RR )
217	32, 216, 15	leadd2d 10622	. 2 |- ( ph -> ( ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) <-> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) ) )
218	214, 217	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   ZZcz 11377   ^cexp 12860   abscabs 13974   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424  ._gcmg 17540   Abelcabl 18194   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   Metcme 19732   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382  CModcclm 22862   CPreHilccph 22966  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968

This theorem is referenced by:  minveclem3  23200  minveclem7  23206