Theorem 4cphipval2 23041

Description: Four times the inner product value cphipval2 23040. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphipfval.x	|- X = ( Base ` W )
cphipfval.p	|- .+ = ( +g ` W )
cphipfval.s	|- .x. = ( .s ` W )
cphipfval.n	|- N = ( norm ` W )
cphipfval.i	|- ., = ( .i ` W )
cphipval2.m	|- .- = ( -g ` W )
cphipval2.f	|- F = (Scalar ` W )
cphipval2.k	|- K = ( Base ` F )

Assertion

Ref	Expression
4cphipval2	|- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A ., B ) ) = ( ( ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem 4cphipval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphipfval.x	. . . 4 |- X = ( Base ` W )
2		cphipfval.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
3		cphipfval.s	. . . 4 |- .x. = ( .s ` W )
4		cphipfval.n	. . . 4 |- N = ( norm ` W )
5		cphipfval.i	. . . 4 |- ., = ( .i ` W )
6		cphipval2.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
7		cphipval2.f	. . . 4 |- F = (Scalar ` W )
8		cphipval2.k	. . . 4 |- K = ( Base ` F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cphipval2 23040	. . 3 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A ., B ) = ( ( ( ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) )
10	9	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A ., B ) ) = ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) )
11	7, 8	cphsubrg 22980	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. CPreHil -> K e. (SubRing ` ℂfld ) )
12		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . 11 |- CC = ( Base ` ℂfld )
13	12	subrgss 18781	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (SubRing ` ℂfld ) -> K C_ CC )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( W e. CPreHil -> K C_ CC )
15	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) -> K C_ CC )
16	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> K C_ CC )
17		simp1l 1085	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> W e. CPreHil )
18		cphngp 22973	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmGrp )
19		ngpgrp 22403	. . . . . . . . . . 11 |- ( W e. NrmGrp -> W e. Grp )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. CPreHil -> W e. Grp )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) -> W e. Grp )
22	1, 2	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .+ B ) e. X )
23	21, 22	syl3an1 1359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .+ B ) e. X )
24	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 22996	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( A .+ B ) e. X ) -> ( N ` ( A .+ B ) ) e. K )
25	17, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .+ B ) ) e. K )
26	16, 25	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .+ B ) ) e. CC )
27	26	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) e. CC )
28	1, 6	grpsubcl 17495	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Grp /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .- B ) e. X )
29	21, 28	syl3an1 1359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .- B ) e. X )
30	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 22996	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( A .- B ) e. X ) -> ( N ` ( A .- B ) ) e. K )
31	17, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .- B ) ) e. K )
32	16, 31	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .- B ) ) e. CC )
33	32	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) e. CC )
34	27, 33	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
35		ax-icn 9995	. . . . . 6 |- _i e. CC
36	35	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> _i e. CC )
37	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> W e. Grp )
38		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X )
39		cphlmod 22974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. CPreHil -> W e. LMod )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) -> W e. LMod )
41	40	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> W e. LMod )
42		simp1r 1086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> _i e. K )
43		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X )
44	1, 7, 3, 8	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ _i e. K /\ B e. X ) -> ( _i .x. B ) e. X )
45	41, 42, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i .x. B ) e. X )
46	1, 2	grpcl 17430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ A e. X /\ ( _i .x. B ) e. X ) -> ( A .+ ( _i .x. B ) ) e. X )
47	37, 38, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .+ ( _i .x. B ) ) e. X )
48	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 22996	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( A .+ ( _i .x. B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) e. K )
49	17, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) e. K )
50	16, 49	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) e. CC )
51	50	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
52	1, 6	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Grp /\ A e. X /\ ( _i .x. B ) e. X ) -> ( A .- ( _i .x. B ) ) e. X )
53	37, 38, 45, 52	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A .- ( _i .x. B ) ) e. X )
54	1, 5, 4, 7, 8	cphnmcl 22996	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( A .- ( _i .x. B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) e. K )
55	17, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) e. K )
56	16, 55	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) e. CC )
57	56	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
58	51, 57	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
59	36, 58	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
60	34, 59	addcld 10059	. . 3 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
61		4cn 11098	. . . 4 |- 4 e. CC
62	61	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 4 e. CC )
63		4ne0 11117	. . . 4 |- 4 =/= 0
64	63	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 4 =/= 0 )
65	60, 62, 64	divcan2d 10803	. 2 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) = ( ( ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
66	10, 65	eqtrd 2656	1 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ _i e. K ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A ., B ) ) = ( ( ( ( N ` ( A .+ B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- B ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A .+ ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A .- ( _i .x. B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   ^cexp 12860   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   .icip 15946   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubRingcsubrg 18776   LModclmod 18863  ℂ_fldccnfld 19746   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   CPreHilccph 22966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968

This theorem is referenced by: (None)