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Theorem minveclem3 23200
Description: Lemma for minvec 23207. The filter formed by taking elements successively closer to the infimum is Cauchy. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x |- X = ( Base ` U )
minvec.m |- .- = ( -g ` U )
minvec.n |- N = ( norm ` U )
minvec.u |- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a |- ( ph -> A e. X )
minvec.j |- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s |- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minvec.f |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
Assertion
Ref Expression
minveclem3 |- ( ph -> ( Y filGen F ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
Distinct variable groups:   y, .-   y, r, A   J, r, y   y, F   y, N   ph, r, y   y, R   y, U   X, r, y   Y, r, y   D, r, y   S, r, y
Allowed substitution hints:   R( r)   U( r)   F( r)   .- ( r)   N( r)
Proof of Theorem minveclem3
Dummy variables w s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> s e. RR+ )
2 2z 11409 . . . . . . . . 9 |- 2 e. ZZ
3 rpexpcl 12879 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( s ^ 2 ) e. RR+ )
41, 2, 3sylancl 694 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( s ^ 2 ) e. RR+ )
54rphalfcld 11884 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( ( s ^ 2 ) / 2 ) e. RR+ )
6 4nn 11187 . . . . . . . 8 |- 4 e. NN
7 nnrp 11842 . . . . . . . 8 |- ( 4 e. NN -> 4 e. RR+ )
86, 7ax-mp 5 . . . . . . 7 |- 4 e. RR+
9 rpdivcl 11856 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) e. RR+ /\ 4 e. RR+ ) -> ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) e. RR+ )
105, 8, 9sylancl 694 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) e. RR+ )
11 minvec.y . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
1211adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
13 rabexg 4812 . . . . . . 7 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } e. _V )
1412, 13syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } e. _V )
15 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
16 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( r = ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) = ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) )
1716breq2d 4665 . . . . . . . 8 |- ( r = ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) )
1817rabbidv 3189 . . . . . . 7 |- ( r = ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } )
1915, 18elrnmpt1s 5373 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) e. RR+ /\ { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } e. _V ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
2010, 14, 19syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
21 minvec.f . . . . 5 |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
2220, 21syl6eleqr 2712 . . . 4 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } e. F )
23 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( y = u -> ( A D y ) = ( A D u ) )
2423oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( y = u -> ( ( A D y ) ^ 2 ) = ( ( A D u ) ^ 2 ) )
2524breq1d 4663 . . . . . . . 8 |- ( y = u -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) <-> ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) )
2625elrab 3363 . . . . . . 7 |- ( u e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } <-> ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) )
27 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( A D y ) = ( A D v ) )
2827oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( ( A D y ) ^ 2 ) = ( ( A D v ) ^ 2 ) )
2928breq1d 4663 . . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) <-> ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) )
3029elrab 3363 . . . . . . 7 |- ( v e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } <-> ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) )
3126, 30anbi12i 733 . . . . . 6 |- ( ( u e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } /\ v e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } ) <-> ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) )
32 simprll 802 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> u e. Y )
33 simprrl 804 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> v e. Y )
3432, 33ovresd 6801 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) = ( u D v ) )
35 minvec.u . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. CPreHil )
36 cphngp 22973 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
37 ngpms 22404 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
38 minvec.x . . . . . . . . . . . . . 14 |- X = ( Base ` U )
39 minvec.d . . . . . . . . . . . . . 14 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
4038, 39msmet 22262 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
4135, 36, 37, 404syl 19 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4241ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
43 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
4438, 43lssss 18937 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
4511, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y C_ X )
4645ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> Y C_ X )
4746, 32sseldd 3604 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> u e. X )
4846, 33sseldd 3604 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> v e. X )
49 metcl 22137 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ u e. X /\ v e. X ) -> ( u D v ) e. RR )
5042, 47, 48, 49syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( u D v ) e. RR )
5150resqcld 13035 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( u D v ) ^ 2 ) e. RR )
525adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( s ^ 2 ) / 2 ) e. RR+ )
5352rpred 11872 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( s ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
544adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( s ^ 2 ) e. RR+ )
5554rpred 11872 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( s ^ 2 ) e. RR )
56 minvec.m . . . . . . . . . . 11 |- .- = ( -g ` U )
57 minvec.n . . . . . . . . . . 11 |- N = ( norm ` U )
5835ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> U e. CPreHil )
5911ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
60 minvec.w . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
6160ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
62 minvec.a . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. X )
6362ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> A e. X )
64 minvec.j . . . . . . . . . . 11 |- J = ( TopOpen ` U )
65 minvec.r . . . . . . . . . . 11 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
66 minvec.s . . . . . . . . . . 11 |- S = inf ( R , RR , < )
6710adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) e. RR+ )
6867rpred 11872 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) e. RR )
6967rpge0d 11876 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) )
70 simprlr 803 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) )
71 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) )
7238, 56, 57, 58, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 39, 68, 69, 32, 33, 70, 71minveclem2 23197 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( u D v ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) )
7352rpcnd 11874 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( s ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
74 4cn 11098 . . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. CC
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> 4 e. CC )
76 4ne0 11117 . . . . . . . . . . . 12 |- 4 =/= 0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> 4 =/= 0 )
7873, 75, 77divcan2d 10803 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( 4 x. ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) = ( ( s ^ 2 ) / 2 ) )
7972, 78breqtrd 4679 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( u D v ) ^ 2 ) <_ ( ( s ^ 2 ) / 2 ) )
80 rphalflt 11860 . . . . . . . . . 10 |- ( ( s ^ 2 ) e. RR+ -> ( ( s ^ 2 ) / 2 ) < ( s ^ 2 ) )
8154, 80syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( s ^ 2 ) / 2 ) < ( s ^ 2 ) )
8251, 53, 55, 79, 81lelttrd 10195 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( u D v ) ^ 2 ) < ( s ^ 2 ) )
83 rpre 11839 . . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR+ -> s e. RR )
8483ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> s e. RR )
85 metge0 22150 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ u e. X /\ v e. X ) -> 0 <_ ( u D v ) )
8642, 47, 48, 85syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( u D v ) )
87 rpge0 11845 . . . . . . . . . 10 |- ( s e. RR+ -> 0 <_ s )
8887ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> 0 <_ s )
8950, 84, 86, 88lt2sqd 13043 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( ( u D v ) < s <-> ( ( u D v ) ^ 2 ) < ( s ^ 2 ) ) )
9082, 89mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( u D v ) < s )
9134, 90eqbrtrd 4675 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( ( u e. Y /\ ( ( A D u ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) /\ ( v e. Y /\ ( ( A D v ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) ) ) ) -> ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s )
9231, 91sylan2b 492 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. RR+ ) /\ ( u e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } /\ v e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } ) ) -> ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s )
9392ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> A. u e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } A. v e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s )
94 raleq 3138 . . . . . 6 |- ( w = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } -> ( A. v e. w ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s <-> A. v e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s ) )
9594raleqbi1dv 3146 . . . . 5 |- ( w = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } -> ( A. u e. w A. v e. w ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s <-> A. u e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } A. v e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s ) )
9695rspcev 3309 . . . 4 |- ( ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } e. F /\ A. u e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } A. v e. { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( ( ( s ^ 2 ) / 2 ) / 4 ) ) } ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s ) -> E. w e. F A. u e. w A. v e. w ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s )
9722, 93, 96syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ph /\ s e. RR+ ) -> E. w e. F A. u e. w A. v e. w ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s )
9897ralrimiva 2966 . 2 |- ( ph -> A. s e. RR+ E. w e. F A. u e. w A. v e. w ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s )
9938, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39minveclem3a 23198 . . . 4 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) )
100 cmetmet 23084 . . . 4 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( CMet ` Y ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( Met ` Y ) )
101 metxmet 22139 . . . 4 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( Met ` Y ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
10299, 100, 1013syl 18 . . 3 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
10338, 56, 57, 35, 11, 60, 62, 64, 65, 66, 39, 21minveclem3b 23199 . . 3 |- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )
104 fgcfil 23069 . . 3 |- ( ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) /\ F e. ( fBas ` Y ) ) -> ( ( Y filGen F ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) <-> A. s e. RR+ E. w e. F A. u e. w A. v e. w ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s ) )
105102, 103, 104syl2anc 693 . 2 |- ( ph -> ( ( Y filGen F ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) <-> A. s e. RR+ E. w e. F A. u e. w A. v e. w ( u ( D |` ( Y X. Y ) ) v ) < s ) )
10698, 105mpbird 247 1 |- ( ph -> ( Y filGen F ) e. (CauFil ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ^cexp 12860   Basecbs 15857   ↾s cress 15858   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LSubSpclss 18932   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   CPreHilccph 22966  CauFilccfil 23050   CMetcms 23052  CMetSpccms 23129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-fil 21650  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132
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