pjthlem1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pjthlem1		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem pjthlem1 23208

Description: Lemma for pjth 23210. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pjthlem.v
pjthlem.n
pjthlem.p
pjthlem.m
pjthlem.h
pjthlem.l
pjthlem.1
pjthlem.2
pjthlem.4
pjthlem.5
pjthlem.7
pjthlem.8

**Assertion**
Ref	Expression
pjthlem1

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

**Proof of Theorem pjthlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjthlem.1	. . . 4
2		hlcph 23160	. . . 4
3	1, 2	syl 17	. . 3
4		pjthlem.4	. . 3
5		pjthlem.2	. . . . 5
6		pjthlem.v	. . . . . 6
7		pjthlem.l	. . . . . 6
8	6, 7	lssss 18937	. . . . 5
9	5, 8	syl 17	. . . 4
10		pjthlem.5	. . . 4
11	9, 10	sseldd 3604	. . 3
12		pjthlem.h	. . . 4
13	6, 12	cphipcl 22991	. . 3 $/\$ $/\$
14	3, 4, 11, 13	syl3anc 1326	. 2
15	14	abscld 14175	. . . 4
16	15	recnd 10068	. . 3
17	15	resqcld 13035	. . . . . . 7
18	17	renegcld 10457	. . . . . 6
19	6, 12	reipcl 22997	. . . . . . . 8 $/\$
20	3, 11, 19	syl2anc 693	. . . . . . 7
21		2re 11090	. . . . . . 7
22		readdcl 10019	. . . . . . 7 $/\$
23	20, 21, 22	sylancl 694	. . . . . 6
24		0red 10041	. . . . . . 7
25		peano2re 10209	. . . . . . . 8
26	20, 25	syl 17	. . . . . . 7
27	6, 12	ipge0 22998	. . . . . . . . 9 $/\$
28	3, 11, 27	syl2anc 693	. . . . . . . 8
29	20	ltp1d 10954	. . . . . . . 8
30	24, 20, 26, 28, 29	lelttrd 10195	. . . . . . 7
31	26	ltp1d 10954	. . . . . . . 8
32	20	recnd 10068	. . . . . . . . . 10
33		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11
34		addass 10023	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
35	33, 33, 34	mp3an23 1416	. . . . . . . . . 10
36	32, 35	syl 17	. . . . . . . . 9
37		df-2 11079	. . . . . . . . . 10
38	37	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9
39	36, 38	syl6reqr 2675	. . . . . . . 8
40	31, 39	breqtrrd 4681	. . . . . . 7
41	24, 26, 23, 30, 40	lttrd 10198	. . . . . 6
42		cphlmod 22974	. . . . . . . . . . . . . 14
43	3, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
44		pjthlem.8	. . . . . . . . . . . . . 14
45		hlphl 23161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	1, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
48		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar Scalar
49	47, 12, 6, 48	ipcl 19978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ Scalar
50	46, 4, 11, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
51	47, 48	hlress 23164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Scalar
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Scalar
53	52, 26	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 Scalar
54	20, 28	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	54	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	47, 48	cphdivcl 22982	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ Scalar $/\$ Scalar $/\$ Scalar
57	3, 50, 53, 55, 56	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 Scalar
58	44, 57	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 Scalar
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14
60	47, 59, 48, 7	lssvscl 18955	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ Scalar $/\$
61	43, 5, 58, 10, 60	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12
62		pjthlem.7	. . . . . . . . . . . 12
63		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
65	64	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13
66	65	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12
67	61, 62, 66	sylc 65	. . . . . . . . . . 11
68		cphngp 22973	. . . . . . . . . . . . . 14 NrmGrp
69	3, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp
70		pjthlem.n	. . . . . . . . . . . . . 14
71	6, 70	nmcl 22420	. . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp $/\$
72	69, 4, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
73	6, 47, 59, 48	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ Scalar $/\$
74	43, 58, 11, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14
75		pjthlem.m	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	6, 75	lmodvsubcl 18908	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
77	43, 4, 74, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13
78	6, 70	nmcl 22420	. . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp $/\$
79	69, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
80	6, 70	nmge0 22421	. . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp $/\$
81	69, 4, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
82	6, 70	nmge0 22421	. . . . . . . . . . . . 13 NrmGrp $/\$
83	69, 77, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
84	72, 79, 81, 83	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . 11
85	67, 84	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
86	79	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11
87	72	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11
88	86, 87	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10
89	85, 88	mpbird 247	. . . . . . . . 9
90		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16
91		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
92	54, 90, 91	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	17, 92	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . 14
94	93, 23	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13
95	94	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
96	95	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11
97	6, 12	cphipcl 22991	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
98	3, 4, 4, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11
99	96, 98	pncand 10393	. . . . . . . . . 10
100	6, 12, 70	nmsq 22994	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
101	3, 77, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13
102	12, 6, 75	cphsubdir 23008	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
103	3, 4, 74, 77, 102	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13
104	12, 6, 75	cphsubdi 23009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
105	3, 4, 4, 74, 104	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15
106	105	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
107	6, 12	cphipcl 22991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
108	3, 4, 74, 107	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15
109	12, 6, 75	cphsubdi 23009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
110	3, 74, 4, 74, 109	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . 16
111	6, 12	cphipcl 22991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
112	3, 74, 4, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113	6, 12	cphipcl 22991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
114	3, 74, 74, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 114	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	110, 115	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	98, 108, 116	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14
118	93	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
119	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
120		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
121	118, 119, 120	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16
122	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
123	12, 6, 47, 48, 59	cphassr 23012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ Scalar $/\$ $/\$
124	3, 58, 4, 11, 123	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125	14, 119, 55	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
126	44, 125	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127	126	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128	127, 14	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129	14	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
130	14, 129, 119, 55	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131	14	absvalsqd 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
132	131	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133	44	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
134	14, 119, 55	cjdivd 13963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135	26	cjred 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
136	135	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
137	134, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138	133, 137	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140	130, 132, 139	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141	124, 128, 140	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	142, 119	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144	119	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	143, 144	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	142, 119, 119, 55, 55	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147	145, 146	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148	92	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149	92	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
150	142, 119, 148, 149	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151	141, 147, 150	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
152	93, 26	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
153	151, 152	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
154	153	cjred 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155	12, 6	cphipcj 22999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
156	3, 4, 74, 155	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157	154, 156, 151	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158	12, 6, 47, 48, 59	cph2ass 23013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ Scalar $/\$ Scalar $/\$ $/\$
159	3, 58, 58, 11, 11, 158	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
160	44	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
161	14, 119, 55	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
162	54	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
163	26, 162	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
164	163	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
165	161, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
166	160, 165	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
167	166	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
168	126	absvalsqd 14181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
169	16, 119, 55	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
170	167, 168, 169	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
171	170	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
172	159, 171	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
173	157, 172	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
174		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
175	32, 33, 174	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
176	175	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
177	118, 119, 32	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
178	176, 177	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179	173, 110, 178	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
180	151, 179	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
181	121, 122, 180	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
183	106, 117, 182	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13
184	101, 103, 183	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12
185	98, 95	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . 12
186	98, 96	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12
187	184, 185, 186	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11
188	6, 12, 70	nmsq 22994	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
189	3, 4, 188	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
190	187, 189	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
191	23	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . 13
192	191	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
193	142, 192, 148, 149	div23d 10838	. . . . . . . . . . 11
194	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
195	118, 194	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . 11
196	193, 195	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
197	99, 190, 196	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9
198	89, 197	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8
199	17, 191	remulcld 10070	. . . . . . . . 9
200	199, 92	ge0divd 11910	. . . . . . . 8
201	198, 200	mpbird 247	. . . . . . 7
202		mulneg12 10468	. . . . . . . 8 $/\$
203	142, 194, 202	syl2anc 693	. . . . . . 7
204	201, 203	breqtrrd 4681	. . . . . 6
205		prodge02 10871	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
206	18, 23, 41, 204, 205	syl22anc 1327	. . . . 5
207	17	le0neg1d 10599	. . . . 5
208	206, 207	mpbird 247	. . . 4
209	15	sqge0d 13036	. . . 4
210		0re 10040	. . . . 5
211		letri3 10123	. . . . 5 $/\$ $/\$
212	17, 210, 211	sylancl 694	. . . 4 $/\$
213	208, 209, 212	mpbir2and 957	. . 3
214	16, 213	sqeq0d 13007	. 2
215	14, 214	abs00d 14185	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wss 3574 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

cz 11377

crp 11832

cexp 12860

ccj 13836

cabs 13974

cbs 15857

cplusg 15941 Scalarcsca 15944

cvsca 15945

cip 15946

csg 17424

clmod 18863

clss 18932

cphl 19969

cnm 22381 NrmGrpcngp 22382

ccph 22966

chl 23131

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-ghm 17658 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-invr 18672 df-dvr 18683 df-rnghom 18715 df-drng 18749 df-subrg 18778 df-staf 18845 df-srng 18846 df-lmod 18865 df-lss 18933 df-lmhm 19022 df-lvec 19103 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-phl 19971 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-flim 21743 df-fcls 21745 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-nm 22387 df-ngp 22388 df-nlm 22391 df-cncf 22681 df-clm 22863 df-cph 22968 df-cfil 23053 df-cmet 23055 df-cms 23132 df-bn 23133 df-hl 23134

This theorem is referenced by: pjthlem2 23209

W3C validator