Theorem minveclem7 23206

Description: Lemma for minvec 23207. Since any two minimal points are distance zero away from each other, the minimal point is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem7	|- ( ph -> E! x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, A, y   x, J, y   x, N, y   ph, x, y   x, R, y   x, U, y   x, X, y   x, Y, y   x, D, y   x, S, y

Proof of Theorem minveclem7

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.x	. . 3 |- X = ( Base ` U )
2		minvec.m	. . 3 |- .- = ( -g ` U )
3		minvec.n	. . 3 |- N = ( norm ` U )
4		minvec.u	. . 3 |- ( ph -> U e. CPreHil )
5		minvec.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
6		minvec.w	. . 3 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
7		minvec.a	. . 3 |- ( ph -> A e. X )
8		minvec.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` U )
9		minvec.r	. . 3 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
10		minvec.s	. . 3 |- S = inf ( R , RR , < )
11		minvec.d	. . 3 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem5 23204	. 2 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
13	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> U e. CPreHil )
14	5	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
15	6	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
16	7	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> A e. X )
17		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
18	17	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> 0 e. RR )
19		0le0 11110	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> 0 <_ 0 )
21		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> x e. Y )
22		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> w e. Y )
23		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) )
24		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) )
25	1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 11, 18, 20, 21, 22, 23, 24	minveclem2 23197	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) /\ ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) ) -> ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. 0 ) )
26	25	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) -> ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. 0 ) ) )
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem6 23205	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
28	27	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	minveclem6 23205	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- w ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
30	29	adantrl 752	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- w ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
31	28, 30	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) /\ ( ( A D w ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) ) <-> ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) /\ A. y e. Y ( N ` ( A .- w ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) ) )
32		4cn 11098	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
33	32	mul01i 10226	. . . . . 6 |- ( 4 x. 0 ) = 0
34	33	breq2i 4661	. . . . 5 |- ( ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. 0 ) <-> ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ 0 )
35		cphngp 22973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
36		ngpms 22404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
37	4, 35, 36	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. MetSp )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> U e. MetSp )
39	1, 11	msmet 22262	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
42	1, 41	lssss 18937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
43	5, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y C_ X )
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> Y C_ X )
45		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> x e. Y )
46	44, 45	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> x e. X )
47		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> w e. Y )
48	44, 47	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> w e. X )
49		metcl 22137	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ w e. X ) -> ( x D w ) e. RR )
50	40, 46, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( x D w ) e. RR )
51	50	sqge0d 13036	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> 0 <_ ( ( x D w ) ^ 2 ) )
52	51	biantrud 528	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ 0 <-> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
53	50	resqcld 13035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( x D w ) ^ 2 ) e. RR )
54		letri3 10123	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x D w ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
55	53, 17, 54	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) = 0 <-> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( x D w ) ^ 2 ) ) ) )
56	50	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( x D w ) e. CC )
57		sqeq0 12927	. . . . . . . 8 |- ( ( x D w ) e. CC -> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) = 0 <-> ( x D w ) = 0 ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) = 0 <-> ( x D w ) = 0 ) )
59		meteq0 22144	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ x e. X /\ w e. X ) -> ( ( x D w ) = 0 <-> x = w ) )
60	40, 46, 48, 59	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( x D w ) = 0 <-> x = w ) )
61	58, 60	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) = 0 <-> x = w ) )
62	52, 55, 61	3bitr2d 296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ 0 <-> x = w ) )
63	34, 62	syl5bb 272	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( ( x D w ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. 0 ) <-> x = w ) )
64	26, 31, 63	3imtr3d 282	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. Y /\ w e. Y ) ) -> ( ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) /\ A. y e. Y ( N ` ( A .- w ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) -> x = w ) )
65	64	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. Y A. w e. Y ( ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) /\ A. y e. Y ( N ` ( A .- w ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) -> x = w ) )
66		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = w -> ( A .- x ) = ( A .- w ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( x = w -> ( N ` ( A .- x ) ) = ( N ` ( A .- w ) ) )
68	67	breq1d 4663	. . . 4 |- ( x = w -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( N ` ( A .- w ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
69	68	ralbidv 2986	. . 3 |- ( x = w -> ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- w ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
70	69	reu4 3400	. 2 |- ( E! x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) /\ A. x e. Y A. w e. Y ( ( A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) /\ A. y e. Y ( N ` ( A .- w ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) -> x = w ) ) )
71	12, 65, 70	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> E! x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   4c4 11072   ^cexp 12860   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LSubSpclss 18932   Metcme 19732   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   CPreHilccph 22966  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-haus 21119  df-fil 21650  df-flim 21743  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132

This theorem is referenced by:  minvec  23207