Theorem minveclem3b 23199

Description: Lemma for minvec 23207. The set of vectors within a fixed distance of the infimum forms a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
minvec.f	|- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )

Assertion

Ref	Expression
minveclem3b	|- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )

Distinct variable groups:   y, .-   y, r, A   J, r, y   y, F   y, N   ph, r, y   y, R   y, U   X, r, y   Y, r, y   D, r, y   S, r, y

Allowed substitution hints:   R( r)   U( r)   F( r)   .- ( r)   N( r)

Proof of Theorem minveclem3b

Dummy variables w s t u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.f	. . 3 |- F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
2		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y
3		minvec.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
4	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
5		elpw2g 4827	. . . . . . 7 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y <-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y <-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } C_ Y ) )
7	2, 6	mpbiri 248	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } e. ~P Y )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
9	7, 8	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) : RR+ --> ~P Y )
10		frn 6053	. . . 4 |- ( ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) : RR+ --> ~P Y -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) C_ ~P Y )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) C_ ~P Y )
12	1, 11	syl5eqss 3649	. 2 |- ( ph -> F C_ ~P Y )
13		1rp 11836	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
14	8, 7	dmmptd 6024	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = RR+ )
15	13, 14	syl5eleqr 2708	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
16		ne0i 3921	. . . . 5 |- ( 1 e. dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) )
18		dm0rn0 5342	. . . . . 6 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) <-> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) )
19	1	eqeq1i 2627	. . . . . 6 |- ( F = (/) <-> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) )
20	18, 19	bitr4i 267	. . . . 5 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) = (/) <-> F = (/) )
21	20	necon3bii 2846	. . . 4 |- ( dom ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) =/= (/) <-> F =/= (/) )
22	17, 21	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> F =/= (/) )
23		minvec.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = ( Base ` U )
24		minvec.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .- = ( -g ` U )
25		minvec.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( norm ` U )
26		minvec.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U e. CPreHil )
27		minvec.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
28		minvec.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. X )
29		minvec.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- J = ( TopOpen ` U )
30		minvec.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
31		minvec.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = inf ( R , RR , < )
32	23, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30, 31	minveclem4c 23196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> S e. RR )
33	32	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
34		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
35	33, 34	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
36	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
37		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR )
39	36, 38	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. RR )
40	39	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. CC )
41	40	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + r ) )
42	35, 41	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) )
43	23, 24, 25, 26, 3, 27, 28, 29, 30	minveclem1 23195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
44	43	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> R C_ RR )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> R C_ RR )
46	43	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> R =/= (/) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> R =/= (/) )
48		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. RR
49	43	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
50		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = 0 -> ( y <_ w <-> 0 <_ w ) )
51	50	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = 0 -> ( A. w e. R y <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
52	51	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
53	48, 49, 52	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. RR A. w e. R y <_ w )
55		infrecl 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
56	45, 47, 54, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
57	31, 56	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S e. RR )
58		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 e. RR )
59	57	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( S ^ 2 ) )
60	58, 36, 39, 59, 35	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 < ( ( S ^ 2 ) + r ) )
61	58, 39, 60	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
62	39, 61	resqrtcld 14156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR )
63	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> A. w e. R 0 <_ w )
64		infregelb 11007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
65	45, 47, 54, 58, 64	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
66	63, 65	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
67	66, 31	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ S )
68	39, 61	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
69	57, 62, 67, 68	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) ) )
70	42, 69	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
71	57, 62	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <-> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S ) )
72	70, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S )
73	31	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ inf ( R , RR , < ) )
74		infregelb 11007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. y e. RR A. w e. R y <_ w ) /\ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w ) )
75	45, 47, 54, 62, 74	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w ) )
76	30	raleqi 3142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w )
77		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
78	77	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
79		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
80		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( N ` ( A .- y ) ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
81	79, 80	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
82	78, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
83	76, 82	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
84	75, 83	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
85	73, 84	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ S <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
86	72, 85	mtbid 314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
87		rexnal 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
88	86, 87	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
89	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) e. RR )
90		cphngp 22973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
91	26, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
92		ngpms 22404	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmGrp -> U e. MetSp )
93		minvec.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
94	23, 93	msmet 22262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. MetSp -> D e. ( Met ` X ) )
95	91, 92, 94	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
96	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
97	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
98		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
99	23, 98	lssss 18937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
100	4, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> Y C_ X )
101	100	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
102		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) e. RR )
103	96, 97, 101, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
104	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
105		metge0 22150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ y e. X ) -> 0 <_ ( A D y ) )
106	96, 97, 101, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( A D y ) )
107	89, 103, 104, 106	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( A D y ) <-> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
108	93	oveqi 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A D y ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) y )
109	97, 101	ovresd 6801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) y ) = ( A ( dist ` U ) y ) )
110	108, 109	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) = ( A ( dist ` U ) y ) )
111	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> U e. NrmGrp )
112		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
113	25, 23, 24, 112	ngpds 22408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A ( dist ` U ) y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
114	111, 97, 101, 113	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A ( dist ` U ) y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
115	110, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A .- y ) ) )
116	115	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( A D y ) <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
117	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + r ) )
118	117	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) ^ 2 ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) <-> ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
119	107, 116, 118	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
120	119	notbid 308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) <-> -. ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) ) )
121	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + r ) e. RR )
122	103	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) e. RR )
123	121, 122	letrid 10189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) \/ ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
124	123	ord 392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( ( S ^ 2 ) + r ) <_ ( ( A D y ) ^ 2 ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
125	120, 124	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
126	125	reximdva 3017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + r ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
127	88, 126	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
128		rabn0 3958	. . . . . . . . 9 |- ( { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } =/= (/) <-> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) )
129	127, 128	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } =/= (/) )
130	129	necomd 2849	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> (/) =/= { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
131	130	neneqd 2799	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> -. (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
132	131	nrexdv 3001	. . . . 5 |- ( ph -> -. E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
133	1	eleq2i 2693	. . . . . 6 |- ( (/) e. F <-> (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
134		0ex 4790	. . . . . . 7 |- (/) e. _V
135	8	elrnmpt 5372	. . . . . . 7 |- ( (/) e. _V -> ( (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
136	134, 135	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( (/) e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
137	133, 136	bitri 264	. . . . 5 |- ( (/) e. F <-> E. r e. RR+ (/) = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
138	132, 137	sylnibr 319	. . . 4 |- ( ph -> -. (/) e. F )
139		df-nel 2898	. . . 4 |- ( (/) e/ F <-> -. (/) e. F )
140	138, 139	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> (/) e/ F )
141	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> S e. RR )
142	141	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
143	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> r e. RR )
144	122, 142, 143	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) ) )
145	144	rabbidva 3188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } )
146	145	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
147	146	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + r ) } ) )
148	147, 1	syl6reqr 2675	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
149	148	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( u e. F <-> u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) ) )
150		vex 3203	. . . . . . . 8 |- u e. _V
151		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = s -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s ) )
152	151	rabbidv 3189	. . . . . . . . . 10 |- ( r = s -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
153	152	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( s e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
154	153	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( u e. _V -> ( u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } ) )
155	150, 154	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( u e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } )
156	149, 155	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. F <-> E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } ) )
157	148	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( v e. F <-> v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) ) )
158		vex 3203	. . . . . . . 8 |- v e. _V
159		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = t -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) )
160	159	rabbidv 3189	. . . . . . . . . 10 |- ( r = t -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
161	160	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( t e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
162	161	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( v e. _V -> ( v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
163	158, 162	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( v e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } )
164	157, 163	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ph -> ( v e. F <-> E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
165	156, 164	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. F /\ v e. F ) <-> ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) ) )
166		reeanv 3107	. . . . . 6 |- ( E. s e. RR+ E. t e. RR+ ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) <-> ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
167	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> D e. ( Met ` X ) )
168	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
169	3, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> Y C_ X )
170	169	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> Y C_ X )
171	170	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
172	167, 168, 171, 102	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) e. RR )
173	172	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) e. RR )
174	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
175	173, 174	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR )
176		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> s e. RR+ )
177	176	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> s e. RR )
178		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> t e. RR+ )
179	178	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> t e. RR )
180		lemin 12023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) e. RR /\ s e. RR /\ t e. RR ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) <-> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) ) )
181	175, 177, 179, 180	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) <-> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) ) )
182	181	rabbidva 3188	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } )
183		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) -> if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ )
184	183	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ )
185	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
186		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V )
188		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) = ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } )
189		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = if ( s <_ t , s , t ) -> ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r <-> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) ) )
190	189	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = if ( s <_ t , s , t ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } )
191	188, 190	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( if ( s <_ t , s , t ) e. RR+ /\ { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. _V ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
192	184, 187, 191	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
193	148	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> F = ran ( r e. RR+ |-> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ r } ) )
194	192, 193	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ if ( s <_ t , s , t ) } e. F )
195	182, 194	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } e. F )
196		ineq12 3809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) = ( { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } i^i { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) )
197		inrab 3899	. . . . . . . . . . 11 |- ( { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } i^i { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) }
198	196, 197	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) = { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } )
199	198	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( ( u i^i v ) e. F <-> { y e. Y | ( ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s /\ ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t ) } e. F ) )
200	195, 199	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( u i^i v ) e. F ) )
201	150	inex1 4799	. . . . . . . . . 10 |- ( u i^i v ) e. _V
202	201	pwid 4174	. . . . . . . . 9 |- ( u i^i v ) e. ~P ( u i^i v )
203		inelcm 4032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u i^i v ) e. F /\ ( u i^i v ) e. ~P ( u i^i v ) ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
204	202, 203	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( ( u i^i v ) e. F -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
205	200, 204	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. RR+ /\ t e. RR+ ) ) -> ( ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
206	205	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. s e. RR+ E. t e. RR+ ( u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
207	166, 206	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. s e. RR+ u = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ s } /\ E. t e. RR+ v = { y e. Y | ( ( ( A D y ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) <_ t } ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
208	165, 207	sylbid 230	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. F /\ v e. F ) -> ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
209	208	ralrimivv 2970	. . 3 |- ( ph -> A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) )
210	22, 140, 209	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) )
211		isfbas 21633	. . 3 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> ( F e. ( fBas ` Y ) <-> ( F C_ ~P Y /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) ) ) )
212	3, 211	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( fBas ` Y ) <-> ( F C_ ~P Y /\ ( F =/= (/) /\ (/) e/ F /\ A. u e. F A. v e. F ( F i^i ~P ( u i^i v ) ) =/= (/) ) ) ) )
213	12, 210, 212	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> F e. ( fBas ` Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   RR+crp 11832   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LSubSpclss 18932   Metcme 19732   fBascfbas 19734   MetSpcmt 22123   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   CPreHilccph 22966  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-cph 22968

This theorem is referenced by:  minveclem3  23200  minveclem4a  23201  minveclem4  23203