Theorem minveclem6 23205

Description: Lemma for minvec 23207. Any minimal point is less than S away from A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = ( Base ` U )
minvec.m	|- .- = ( -g ` U )
minvec.n	|- N = ( norm ` U )
minvec.u	|- ( ph -> U e. CPreHil )
minvec.y	|- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
minvec.w	|- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
minvec.a	|- ( ph -> A e. X )
minvec.j	|- J = ( TopOpen ` U )
minvec.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
minvec.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvec.d	|- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )

Assertion

Ref	Expression
minveclem6	|- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, A, y   x, J, y   x, N, y   ph, x, y   x, R, y   x, U, y   x, X, y   x, Y, y   x, D, y   x, S, y

Proof of Theorem minveclem6

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec.d	. . . . . . . 8 |- D = ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) )
2	1	oveqi 6663	. . . . . . 7 |- ( A D x ) = ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) x )
3		minvec.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. X )
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> A e. X )
5		minvec.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. ( LSubSp ` U ) )
6		minvec.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( Base ` U )
7		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
8	6, 7	lssss 18937	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ( LSubSp ` U ) -> Y C_ X )
9	5, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y C_ X )
10	9	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> x e. X )
11	4, 10	ovresd 6801	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( A ( ( dist ` U ) |` ( X X. X ) ) x ) = ( A ( dist ` U ) x ) )
12	2, 11	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( A D x ) = ( A ( dist ` U ) x ) )
13		minvec.u	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U e. CPreHil )
14		cphngp 22973	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CPreHil -> U e. NrmGrp )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. NrmGrp )
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> U e. NrmGrp )
17		minvec.n	. . . . . . . 8 |- N = ( norm ` U )
18		minvec.m	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` U )
19		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
20	17, 6, 18, 19	ngpds 22408	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmGrp /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( A ( dist ` U ) x ) = ( N ` ( A .- x ) ) )
21	16, 4, 10, 20	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( A ( dist ` U ) x ) = ( N ` ( A .- x ) ) )
22	12, 21	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( A D x ) = ( N ` ( A .- x ) ) )
23	22	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( A D x ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A .- x ) ) ^ 2 ) )
24		minvec.s	. . . . . . . 8 |- S = inf ( R , RR , < )
25		minvec.w	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U ↾s Y ) e. CMetSp )
26		minvec.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( TopOpen ` U )
27		minvec.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
28	6, 18, 17, 13, 5, 25, 3, 26, 27	minveclem1 23195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
30	29	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> R C_ RR )
31	29	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> R =/= (/) )
32		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> 0 e. RR )
33	29	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> A. w e. R 0 <_ w )
34		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
35	34	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
36	35	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
37	32, 33, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
38		infrecl 11005	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
39	30, 31, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
40	24, 39	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> S e. RR )
41	40	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
42	41	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. CC )
43	42	addid1d 10236	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + 0 ) = ( S ^ 2 ) )
44	23, 43	breq12d 4666	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> ( ( N ` ( A .- x ) ) ^ 2 ) <_ ( S ^ 2 ) ) )
45		cphlmod 22974	. . . . . . . 8 |- ( U e. CPreHil -> U e. LMod )
46	13, 45	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LMod )
47	46	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> U e. LMod )
48	6, 18	lmodvsubcl 18908	. . . . . 6 |- ( ( U e. LMod /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( A .- x ) e. X )
49	47, 4, 10, 48	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( A .- x ) e. X )
50	6, 17	nmcl 22420	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- x ) e. X ) -> ( N ` ( A .- x ) ) e. RR )
51	16, 49, 50	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( N ` ( A .- x ) ) e. RR )
52	6, 17	nmge0 22421	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmGrp /\ ( A .- x ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( A .- x ) ) )
53	16, 49, 52	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> 0 <_ ( N ` ( A .- x ) ) )
54		infregelb 11007	. . . . . . 7 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
55	30, 31, 37, 32, 54	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
56	33, 55	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
57	56, 24	syl6breqr 4695	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> 0 <_ S )
58	51, 40, 53, 57	le2sqd 13044	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ S <-> ( ( N ` ( A .- x ) ) ^ 2 ) <_ ( S ^ 2 ) ) )
59	24	breq2i 4661	. . . 4 |- ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ S <-> ( N ` ( A .- x ) ) <_ inf ( R , RR , < ) )
60		infregelb 11007	. . . . 5 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ ( N ` ( A .- x ) ) e. RR ) -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R ( N ` ( A .- x ) ) <_ w ) )
61	30, 31, 37, 51, 60	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R ( N ` ( A .- x ) ) <_ w ) )
62	59, 61	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ S <-> A. w e. R ( N ` ( A .- x ) ) <_ w ) )
63	44, 58, 62	3bitr2d 296	. 2 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. w e. R ( N ` ( A .- x ) ) <_ w ) )
64	27	raleqi 3142	. . 3 |- ( A. w e. R ( N ` ( A .- x ) ) <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( N ` ( A .- x ) ) <_ w )
65		fvex 6201	. . . . 5 |- ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
66	65	rgenw 2924	. . . 4 |- A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V
67		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) )
68		breq2 4657	. . . . 5 |- ( w = ( N ` ( A .- y ) ) -> ( ( N ` ( A .- x ) ) <_ w <-> ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
69	67, 68	ralrnmpt 6368	. . . 4 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A .- y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( N ` ( A .- x ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )
70	66, 69	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A .- y ) ) ) ( N ` ( A .- x ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
71	64, 70	bitri 264	. 2 |- ( A. w e. R ( N ` ( A .- x ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) )
72	63, 71	syl6bb 276	1 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A .- x ) ) <_ ( N ` ( A .- y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   ^cexp 12860   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   -gcsg 17424   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382   CPreHilccph 22966  CMetSpccms 23129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-seq 12802  df-exp 12861  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nlm 22391  df-cph 22968

This theorem is referenced by:  minveclem7  23206