cphipval - Metamath Proof Explorer

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Theorem cphipval 23042

Description: Value of the inner product expressed by a sum of terms with the norm defined by the inner product. Equation 6.45 of [Ponnusamy] p. 361. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by AV, 18-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cphipfval.x
cphipfval.p
cphipfval.s
cphipfval.n
cphipfval.i
cphipval.f	Scalar
cphipval.k

**Assertion**
Ref	Expression
cphipval	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

**Proof of Theorem cphipval**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphipfval.x	. . 3
2		cphipfval.p	. . 3
3		cphipfval.s	. . 3
4		cphipfval.n	. . 3
5		cphipfval.i	. . 3
6		eqid 2622	. . 3
7		cphipval.f	. . 3 Scalar
8		cphipval.k	. . 3
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	cphipval2 23040	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
10		ax-icn 9995	. . . . . . . . . 10
11	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
12		simp1l 1085	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
13		cphngp 22973	. . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
14		ngpgrp 22403	. . . . . . . . . . . . . . 15 NrmGrp
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
17	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
18		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
19		cphlmod 22974	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	19	3anim1i 1248	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21	20	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	1, 7, 3, 8	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
24	23	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
25	1, 2	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
26	17, 18, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
27	1, 5, 4	nmsq 22994	. . . . . . . . . . 11 $/\$
28	12, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
29	1, 5	reipcl 22997	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
30	12, 26, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
31	30	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
32	28, 31	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
33	11, 32	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
34	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
35	34	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
36		cphclm 22989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 CMod
37	7, 8	clmneg1 22882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 CMod
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
40	39	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
41		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
42	1, 7, 3, 8	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
43	35, 40, 41, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
44	1, 2	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
45	17, 18, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
46	1, 5, 4	nmsq 22994	. . . . . . . . . . 11 $/\$
47	12, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
48	1, 5	reipcl 22997	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	12, 45, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
50	47, 49	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
52		addneg1mul 10472	. . . . . . . 8 $/\$
53	33, 51, 52	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
54	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ CMod
55	1, 2, 6, 7, 3	clmvsubval 22909	. . . . . . . . . . . 12 CMod $/\$ $/\$
56	55	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 CMod $/\$ $/\$
57	54, 56	syl3an1 1359	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
61	53, 60	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
63	54	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ CMod
64		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
65	1, 7, 3, 62, 8, 63, 41, 64	clmvsneg 22900	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
66	65	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
68	1, 2, 62, 6	grpsubval 17465	. . . . . . . . . . 11 $/\$
69	18, 24, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
70	67, 69	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
73	72	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
74	61, 73	oveq12d 6668	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
75	54	anim1i 592	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ CMod $/\$
76	75	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ CMod $/\$
77	1, 3	clmvs1 22893	. . . . . . . . . . 11 CMod $/\$
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
82	81	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
83	1, 2	grpcl 17430	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	16, 83	syl3an1 1359	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	1, 5, 4	nmsq 22994	. . . . . . . . . 10 $/\$
86	12, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
87	1, 5	reipcl 22997	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	12, 84, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
89	86, 88	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
91	90	mulid2d 10058	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
92	82, 91	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
93	74, 92	oveq12d 6668	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
94		nnuz 11723	. . . . . 6
95		df-4 11081	. . . . . 6
96		oveq2 6658	. . . . . . . 8
97		i4 12967	. . . . . . . 8
98	96, 97	syl6eq 2672	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . 7
103	98, 102	oveq12d 6668	. . . . . 6
104	10	a1i 11	. . . . . . . . 9
105		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9
106	104, 105	expcld 13008	. . . . . . . 8
107	106	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	35	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	36	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ CMod $/\$
113	112	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ CMod $/\$
114	7, 8	cmodscexp 22921	. . . . . . . . . . . 12 CMod $/\$ $/\$
115	113, 114	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	1, 7, 3, 8	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
118	111, 115, 116, 117	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	1, 2	grpcl 17430	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
120	109, 110, 118, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	1, 5, 4	nmsq 22994	. . . . . . . . 9 $/\$
122	108, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	1, 5	reipcl 22997	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	108, 120, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	124	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	122, 125	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	107, 126	mulcld 10060	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128		df-3 11080	. . . . . . 7
129		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
130		i3 12966	. . . . . . . . 9
131	129, 130	syl6eq 2672	. . . . . . . 8
132	131	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
135	134	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
136	131, 135	oveq12d 6668	. . . . . . 7
137	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	105	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	137, 138	expcld 13008	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	123	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
141	108, 120, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	122, 141	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	139, 142	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144		df-2 11079	. . . . . . . 8
145		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
146		i2 12965	. . . . . . . . . 10
147	145, 146	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
149	148	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
150	149	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10
151	150	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
152	147, 151	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
153	139, 126	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154		1z 11407	. . . . . . . . . 10
155		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
156		exp1 12866	. . . . . . . . . . . . . 14
157	10, 156	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13
158	155, 157	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
161	160	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
162	161	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
163	158, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
164	163	fsum1 14476	. . . . . . . . . 10 $/\$
165	154, 33, 164	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
166		1nn 11031	. . . . . . . . 9
167	165, 166	jctil 560	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168		eqidd 2623	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
169	94, 144, 152, 153, 167, 168	fsump1i 14500	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170		eqidd 2623	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
171	94, 128, 136, 143, 169, 170	fsump1i 14500	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172		eqidd 2623	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
173	94, 95, 103, 127, 171, 172	fsump1i 14500	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	173	simprd 479	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
175	1, 6	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	16, 175	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
177	1, 5, 4	nmsq 22994	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	12, 176, 177	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
179	1, 5	reipcl 22997	. . . . . . . . . . 11 $/\$
180	12, 176, 179	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
181	178, 180	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
182	181	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
183	90, 182	subcld 10392	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
184	1, 6	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
185	17, 18, 24, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
186	1, 5, 4	nmsq 22994	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
187	12, 185, 186	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
188	1, 5	reipcl 22997	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
189	12, 185, 188	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
190	187, 189	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
191	190	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
192	32, 191	subcld 10392	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
193	11, 192	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
194	183, 193	addcomd 10238	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
195	193, 182, 90	subadd23d 10414	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
196	32, 191, 11	subdir2d 10488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
197	196	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
198	11, 191	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
199	33, 198, 182	sub32d 10424	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
200	197, 199	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
202	194, 195, 201	3eqtr2d 2662	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
203	33, 182	subcld 10392	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
204	203, 198	negsubd 10398	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
205	11, 191	mulneg1d 10483	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
207	206	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
208	204, 207	eqtr3d 2658	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
209	208	oveq1d 6665	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
210	202, 209	eqtrd 2656	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
211	93, 174, 210	3eqtr4rd 2667	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
212	211	oveq1d 6665	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
213	9, 212	eqtrd 2656	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

cn0 11292

cz 11377

cfz 12326

cexp 12860

csu 14416

cbs 15857

cplusg 15941 Scalarcsca 15944

cvsca 15945

cip 15946

cgrp 17422

cminusg 17423

csg 17424

clmod 18863

cnm 22381 NrmGrpcngp 22382 CModcclm 22862

ccph 22966

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-tpos 7352 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-0g 16102 df-topgen 16104 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-mhm 17335 df-submnd 17336 df-grp 17425 df-minusg 17426 df-sbg 17427 df-mulg 17541 df-subg 17591 df-ghm 17658 df-cmn 18195 df-abl 18196 df-mgp 18490 df-ur 18502 df-ring 18549 df-cring 18550 df-oppr 18623 df-dvdsr 18641 df-unit 18642 df-rnghom 18715 df-drng 18749 df-subrg 18778 df-staf 18845 df-srng 18846 df-lmod 18865 df-lmhm 19022 df-lvec 19103 df-sra 19172 df-rgmod 19173 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-cnfld 19747 df-phl 19971 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-xms 22125 df-ms 22126 df-nm 22387 df-ngp 22388 df-nlm 22391 df-clm 22863 df-cph 22968

This theorem is referenced by: (None)

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