Theorem dchrelbas 24961

Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of CC, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrval.g	|- G = (DChr ` N )
dchrval.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrval.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrval.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrval.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrbas.b	|- D = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
dchrelbas	|- ( ph -> ( X e. D <-> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ( ( B \ U ) X. { 0 } ) C_ X ) ) )

Proof of Theorem dchrelbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrval.g	. . . 4 |- G = (DChr ` N )
2		dchrval.z	. . . 4 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
3		dchrval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Z )
4		dchrval.u	. . . 4 |- U = (Unit ` Z )
5		dchrval.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
6		dchrbas.b	. . . 4 |- D = ( Base ` G )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dchrbas 24960	. . 3 |- ( ph -> D = { x e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) | ( ( B \ U ) X. { 0 } ) C_ x } )
8	7	eleq2d 2687	. 2 |- ( ph -> ( X e. D <-> X e. { x e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) | ( ( B \ U ) X. { 0 } ) C_ x } ) )
9		sseq2 3627	. . 3 |- ( x = X -> ( ( ( B \ U ) X. { 0 } ) C_ x <-> ( ( B \ U ) X. { 0 } ) C_ X ) )
10	9	elrab 3363	. 2 |- ( X e. { x e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) | ( ( B \ U ) X. { 0 } ) C_ x } <-> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ( ( B \ U ) X. { 0 } ) C_ X ) )
11	8, 10	syl6bb 276	1 |- ( ph -> ( X e. D <-> ( X e. ( (mulGrp ` Z ) MndHom (mulGrp ` ℂfld ) ) /\ ( ( B \ U ) X. { 0 } ) C_ X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   NNcn 11020   Basecbs 15857   MndHom cmhm 17333  mulGrpcmgp 18489  Unitcui 18639  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrelbas2  24962  dchrmhm  24966