Theorem xkopt 21458

Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkopt	|- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )

Proof of Theorem xkopt

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 20799	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ~P A e. Top )
3		simpl 473	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> R e. Top )
4		unipw 4918	. . . . . 6 |- U. ~P A = A
5	4	eqcomi 2631	. . . . 5 |- A = U. ~P A
6		eqid 2622	. . . . 5 |- { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp }
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkoval 21390	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ R e. Top ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
10		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> A e. V )
11		fconst6g 6094	. . . . . 6 |- ( R e. Top -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
12	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
13		pttop 21385	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( A X. { R } ) : A --> Top ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top )
14	10, 12, 13	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top )
15		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
16		restdis 20982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ x C_ A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
17	15, 16	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ x e. ~P A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
18	17	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
19	18	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ( ~P A ↾t x ) e. Comp <-> ~P x e. Comp ) )
20		discmp 21201	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Comp )
21	19, 20	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ( ~P A ↾t x ) e. Comp <-> x e. Fin ) )
22	21	rabbidva 3188	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P A | x e. Fin } )
23		dfin5 3582	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = { x e. ~P A | x e. Fin }
24	22, 23	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = ( ~P A i^i Fin ) )
25		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> R = R )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
27	26	toptopon 20722	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
28		cndis 21095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ R e. (TopOn ` U. R ) ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
29	28	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
30	27, 29	sylanb 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
31		rabeq 3192	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) -> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
33	24, 25, 32	mpt2eq123dv 6717	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) )
34	33	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ran ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) )
35		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
36	35	rnmpt2 6770	. . . . . 6 |- ran ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } }
37	34, 36	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } } )
38		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( U. R ^m A ) -> f : A --> U. R )
39		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( f ` x ) e. v <-> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
40	39	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) ) )
41	40	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) <-> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) ) )
42		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( f ` x ) e. U. R <-> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
43	42	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) ) )
44	43	bibi1d 333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) <-> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) ) )
45		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
46		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. ( ~P A i^i Fin ) )
47	45, 46	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. ~P A )
48	47	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k C_ A )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> k C_ A )
50	49	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> x e. A )
51		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> x e. k )
52	50, 51	2thd 255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> ( x e. A <-> x e. k ) )
53	52	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
54		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A --> U. R /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. U. R )
55	54	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A --> U. R -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
58		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. k -> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) )
60	57, 59	2thd 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
61	41, 44, 53, 60	ifbothda 4123	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
62	61	ralbidv2 2984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
63		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A --> U. R -> f Fn A )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> f Fn A )
65		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
66	65	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
67	66	baib 944	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn A -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
69		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A --> U. R -> Fun f )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> Fun f )
71		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A --> U. R -> dom f = A )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> dom f = A )
73	49, 72	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> k C_ dom f )
74		funimass4 6247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun f /\ k C_ dom f ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
75	70, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
76	62, 68, 75	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f " k ) C_ v ) )
77	38, 76	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f e. ( U. R ^m A ) ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f " k ) C_ v ) )
78	77	rabbi2dva 3821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
79		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. R -> v C_ U. R )
80	79	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> v C_ U. R )
81		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. R C_ U. R
82		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( v C_ U. R <-> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R ) )
83		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( U. R C_ U. R <-> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R ) )
84	82, 83	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v C_ U. R /\ U. R C_ U. R ) -> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
85	80, 81, 84	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
86	85	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> A. x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
87		ss2ixp 7921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ X_ x e. A U. R )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ X_ x e. A U. R )
89		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> A e. V )
90		uniexg 6955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Top -> U. R e. _V )
91	90	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> U. R e. _V )
92		ixpconstg 7917	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ U. R e. _V ) -> X_ x e. A U. R = ( U. R ^m A ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A U. R = ( U. R ^m A ) )
94	88, 93	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ ( U. R ^m A ) )
95		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . 11 |- ( X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ ( U. R ^m A ) <-> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
96	94, 95	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
97	78, 96	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
98	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
99		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
100	99, 46	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. Fin )
101		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> v e. R )
102	26	topopn 20711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Top -> U. R e. R )
103	102	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> U. R e. R )
104	101, 103	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. R )
105		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> R e. Top )
106		fvconst2g 6467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ x e. A ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
107	105, 106	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
108	104, 107	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. ( ( A X. { R } ) ` x ) )
109		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ k ) -> -. x e. k )
110	109	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A \ k ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
112		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ k ) -> x e. A )
113	112, 107	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
114	113	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> U. ( ( A X. { R } ) ` x ) = U. R )
115	111, 114	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. ( ( A X. { R } ) ` x ) )
116	89, 98, 100, 108, 115	ptopn 21386	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
117	97, 116	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
118		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> ( x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) <-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
119	117, 118	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
120	119	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
121	120	abssdv 3676	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } } C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
122	37, 121	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
123		tgfiss 20795	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top /\ ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
124	14, 122, 123	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
125	9, 124	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
126		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) )
127	126, 26	ptuniconst 21401	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ R e. Top ) -> ( U. R ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
128	127	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( U. R ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
129	30, 128	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
130	129	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) = ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
131		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) )
132	131	restid 16094	. . . . 5 |- ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
133	14, 132	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
134	130, 133	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
135	5, 126	xkoptsub 21457	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ R e. Top ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
136	2, 3, 135	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
137	134, 136	eqsstr3d 3640	. 2 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
138	125, 137	eqssd 3620	1 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   ficfi 8316   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189   ^ko cxko 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cmp 21190  df-xko 21366

This theorem is referenced by:  tmdgsum  21899  tmdgsum2  21900  symgtgp  21905