Theorem disjxwwlkn 26808

Description: Sets of walks (as words) extended by an edge are disjunct if each set contains extensions of distinct walks. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextprop.x	|- X = ( ( N + 1 ) WWalksN G )
wwlksnextprop.e	|- E = (Edg ` G )
wwlksnextprop.y	|- Y = { w e. ( N WWalksN G ) | ( w ` 0 ) = P }

Assertion

Ref	Expression
disjxwwlkn	|- Disj y e. Y { x e. X | ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) }

Distinct variable groups:   w, G   w, N   w, P   y, E   x, N, y   y, P   y, X   y, Y   x, w, G   y, M   x, X

Allowed substitution hints:   P( x)   E( x, w)   G( y)   M( x, w)   X( w)   Y( x, w)

Proof of Theorem disjxwwlkn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) -> ( x substr <. 0 , M >. ) = y )
2	1	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. x e. X ( ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) -> ( x substr <. 0 , M >. ) = y )
3		ss2rab 3678	. . . . 5 |- ( { x e. X | ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) } C_ { x e. X | ( x substr <. 0 , M >. ) = y } <-> A. x e. X ( ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) -> ( x substr <. 0 , M >. ) = y ) )
4	2, 3	mpbir 221	. . . 4 |- { x e. X | ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) } C_ { x e. X | ( x substr <. 0 , M >. ) = y }
5		wwlksnextprop.x	. . . . . 6 |- X = ( ( N + 1 ) WWalksN G )
6		wwlkssswwlksn 26751	. . . . . . 7 |- ( ( N + 1 ) WWalksN G ) C_ (WWalks ` G )
7		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
8	7	wwlkssswrd 26747	. . . . . . 7 |- (WWalks ` G ) C_ Word (Vtx ` G )
9	6, 8	sstri 3612	. . . . . 6 |- ( ( N + 1 ) WWalksN G ) C_ Word (Vtx ` G )
10	5, 9	eqsstri 3635	. . . . 5 |- X C_ Word (Vtx ` G )
11		rabss2 3685	. . . . 5 |- ( X C_ Word (Vtx ` G ) -> { x e. X | ( x substr <. 0 , M >. ) = y } C_ { x e. Word (Vtx ` G ) | ( x substr <. 0 , M >. ) = y } )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . 4 |- { x e. X | ( x substr <. 0 , M >. ) = y } C_ { x e. Word (Vtx ` G ) | ( x substr <. 0 , M >. ) = y }
13	4, 12	sstri 3612	. . 3 |- { x e. X | ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) } C_ { x e. Word (Vtx ` G ) | ( x substr <. 0 , M >. ) = y }
14	13	rgenw 2924	. 2 |- A. y e. Y { x e. X | ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) } C_ { x e. Word (Vtx ` G ) | ( x substr <. 0 , M >. ) = y }
15		disjxwrd 13455	. 2 |- Disj y e. Y { x e. Word (Vtx ` G ) | ( x substr <. 0 , M >. ) = y }
16		disjss2 4623	. 2 |- ( A. y e. Y { x e. X | ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) } C_ { x e. Word (Vtx ` G ) | ( x substr <. 0 , M >. ) = y } -> (Disj y e. Y { x e. Word (Vtx ` G ) | ( x substr <. 0 , M >. ) = y } -> Disj y e. Y { x e. X | ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) } ) )
17	14, 15, 16	mp2 9	1 |- Disj y e. Y { x e. X | ( ( x substr <. 0 , M >. ) = y /\ ( y ` 0 ) = P /\ { ( lastS ` y ) , ( lastS ` x ) } e. E ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   {cpr 4179   <.cop 4183  Disj wdisj 4620   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939  Word cword 13291   lastS clsw 13292   substr csubstr 13295  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939  WWalkscwwlks 26717   WWalksN cwwlksn 26718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-wwlks 26722  df-wwlksn 26723

This theorem is referenced by:  hashwwlksnext  26809