Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvhopvsca Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem dvhopvsca 36391
Description: Scalar product operation for the constructed full vector space H. (Contributed by NM, 20-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvhfvsca.h |- H = ( LHyp ` K )
dvhfvsca.t |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
dvhfvsca.e |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
dvhfvsca.u |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dvhfvsca.s |- .x. = ( .s ` U )
Assertion
Ref Expression
dvhopvsca |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> ( R .x. <. F , X >. ) = <. ( R ` F ) , ( R o. X ) >. )
Proof of Theorem dvhopvsca
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> ( K e. V /\ W e. H ) )
2 simpr1 1067 . . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> R e. E )
3 simpr2 1068 . . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> F e. T )
4 simpr3 1069 . . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> X e. E )
5 opelxpi 5148 . . . 4 |- ( ( F e. T /\ X e. E ) -> <. F , X >. e. ( T X. E ) )
63, 4, 5syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> <. F , X >. e. ( T X. E ) )
7 dvhfvsca.h . . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
8 dvhfvsca.t . . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
9 dvhfvsca.e . . . 4 |- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
10 dvhfvsca.u . . . 4 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
11 dvhfvsca.s . . . 4 |- .x. = ( .s ` U )
127, 8, 9, 10, 11dvhvsca 36390 . . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ <. F , X >. e. ( T X. E ) ) ) -> ( R .x. <. F , X >. ) = <. ( R ` ( 1st ` <. F , X >. ) ) , ( R o. ( 2nd ` <. F , X >. ) ) >. )
131, 2, 6, 12syl12anc 1324 . 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> ( R .x. <. F , X >. ) = <. ( R ` ( 1st ` <. F , X >. ) ) , ( R o. ( 2nd ` <. F , X >. ) ) >. )
14 op1stg 7180 . . . . 5 |- ( ( F e. T /\ X e. E ) -> ( 1st ` <. F , X >. ) = F )
153, 4, 14syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> ( 1st ` <. F , X >. ) = F )
1615fveq2d 6195 . . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> ( R ` ( 1st ` <. F , X >. ) ) = ( R ` F ) )
17 op2ndg 7181 . . . . 5 |- ( ( F e. T /\ X e. E ) -> ( 2nd ` <. F , X >. ) = X )
183, 4, 17syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> ( 2nd ` <. F , X >. ) = X )
1918coeq2d 5284 . . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> ( R o. ( 2nd ` <. F , X >. ) ) = ( R o. X ) )
2016, 19opeq12d 4410 . 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> <. ( R ` ( 1st ` <. F , X >. ) ) , ( R o. ( 2nd ` <. F , X >. ) ) >. = <. ( R ` F ) , ( R o. X ) >. )
2113, 20eqtrd 2656 1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ ( R e. E /\ F e. T /\ X e. E ) ) -> ( R .x. <. F , X >. ) = <. ( R ` F ) , ( R o. X ) >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   X. cxp 5112   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   .scvsca 15945   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387   TEndoctendo 36040   DVecHcdvh 36367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-dvech 36368
This theorem is referenced by:  dvhlveclem  36397  dib1dim2  36457  diclspsn  36483  dih1dimatlem  36618
  Copyright terms: Public domain W3C validator