Theorem efgmf 18126

Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgmval.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )

Assertion

Ref	Expression
efgmf	|- M : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o )

Distinct variable group:   y, z, I

Allowed substitution hints:   M( y, z)

Proof of Theorem efgmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oconcl 7583	. . . 4 |- ( z e. 2o -> ( 1o \ z ) e. 2o )
2		opelxpi 5148	. . . 4 |- ( ( y e. I /\ ( 1o \ z ) e. 2o ) -> <. y , ( 1o \ z ) >. e. ( I X. 2o ) )
3	1, 2	sylan2 491	. . 3 |- ( ( y e. I /\ z e. 2o ) -> <. y , ( 1o \ z ) >. e. ( I X. 2o ) )
4	3	rgen2 2975	. 2 |- A. y e. I A. z e. 2o <. y , ( 1o \ z ) >. e. ( I X. 2o )
5		efgmval.m	. . 3 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
6	5	fmpt2 7237	. 2 |- ( A. y e. I A. z e. 2o <. y , ( 1o \ z ) >. e. ( I X. 2o ) <-> M : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o ) )
7	4, 6	mpbi 220	1 |- M : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   <.cop 4183   X. cxp 5112   -->wf 5884   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-2o 7561

This theorem is referenced by:  efgtf  18135  efgtlen  18139  efginvrel2  18140  efginvrel1  18141  efgredleme  18156  efgredlemc  18158  efgcpbllemb  18168  frgp0  18173  frgpinv  18177  vrgpinv  18182  frgpnabllem1  18276