Theorem frgpinv 18177

Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
frgpadd.g	|- G = (freeGrp ` I )
frgpadd.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
frgpinv.n	|- N = ( invg ` G )
frgpinv.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )

Assertion

Ref	Expression
frgpinv	|- ( A e. W -> ( N ` [ A ] .~ ) = [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ )

Distinct variable groups:   y, z, I   y, .~ , z   y, W, z

Allowed substitution hints:   A( y, z)   G( y, z)   M( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem frgpinv

Dummy variables n v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpadd.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		fviss 6256	. . . . . . . . 9 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) C_ Word ( I X. 2o )
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- W C_ Word ( I X. 2o )
4	3	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( A e. W -> A e. Word ( I X. 2o ) )
5		revcl 13510	. . . . . . 7 |- ( A e. Word ( I X. 2o ) -> (reverse ` A ) e. Word ( I X. 2o ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. W -> (reverse ` A ) e. Word ( I X. 2o ) )
7		frgpinv.m	. . . . . . 7 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
8	7	efgmf 18126	. . . . . 6 |- M : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o )
9		wrdco 13577	. . . . . 6 |- ( ( (reverse ` A ) e. Word ( I X. 2o ) /\ M : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o ) ) -> ( M o. (reverse ` A ) ) e. Word ( I X. 2o ) )
10	6, 8, 9	sylancl 694	. . . . 5 |- ( A e. W -> ( M o. (reverse ` A ) ) e. Word ( I X. 2o ) )
11	1	efgrcl 18128	. . . . . 6 |- ( A e. W -> ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) )
12	11	simprd 479	. . . . 5 |- ( A e. W -> W = Word ( I X. 2o ) )
13	10, 12	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( A e. W -> ( M o. (reverse ` A ) ) e. W )
14		frgpadd.g	. . . . 5 |- G = (freeGrp ` I )
15		frgpadd.r	. . . . 5 |- .~ = ( ~FG ` I )
16		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
17	1, 14, 15, 16	frgpadd 18176	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ ( M o. (reverse ` A ) ) e. W ) -> ( [ A ] .~ ( +g ` G ) [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ ) = [ ( A ++ ( M o. (reverse ` A ) ) ) ] .~ )
18	13, 17	mpdan 702	. . 3 |- ( A e. W -> ( [ A ] .~ ( +g ` G ) [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ ) = [ ( A ++ ( M o. (reverse ` A ) ) ) ] .~ )
19	1, 15	efger 18131	. . . . 5 |- .~ Er W
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( A e. W -> .~ Er W )
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) ) = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
22	1, 15, 7, 21	efginvrel2 18140	. . . 4 |- ( A e. W -> ( A ++ ( M o. (reverse ` A ) ) ) .~ (/) )
23	20, 22	erthi 7793	. . 3 |- ( A e. W -> [ ( A ++ ( M o. (reverse ` A ) ) ) ] .~ = [ (/) ] .~ )
24	14, 15	frgp0 18173	. . . . . 6 |- ( I e. _V -> ( G e. Grp /\ [ (/) ] .~ = ( 0g ` G ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( I e. _V /\ W = Word ( I X. 2o ) ) -> ( G e. Grp /\ [ (/) ] .~ = ( 0g ` G ) ) )
26	11, 25	syl 17	. . . 4 |- ( A e. W -> ( G e. Grp /\ [ (/) ] .~ = ( 0g ` G ) ) )
27	26	simprd 479	. . 3 |- ( A e. W -> [ (/) ] .~ = ( 0g ` G ) )
28	18, 23, 27	3eqtrd 2660	. 2 |- ( A e. W -> ( [ A ] .~ ( +g ` G ) [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ ) = ( 0g ` G ) )
29	26	simpld 475	. . 3 |- ( A e. W -> G e. Grp )
30		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
31	14, 15, 1, 30	frgpeccl 18174	. . 3 |- ( A e. W -> [ A ] .~ e. ( Base ` G ) )
32	14, 15, 1, 30	frgpeccl 18174	. . . 4 |- ( ( M o. (reverse ` A ) ) e. W -> [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ e. ( Base ` G ) )
33	13, 32	syl 17	. . 3 |- ( A e. W -> [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ e. ( Base ` G ) )
34		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
35		frgpinv.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
36	30, 16, 34, 35	grpinvid1 17470	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ [ A ] .~ e. ( Base ` G ) /\ [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ e. ( Base ` G ) ) -> ( ( N ` [ A ] .~ ) = [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ <-> ( [ A ] .~ ( +g ` G ) [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ ) = ( 0g ` G ) ) )
37	29, 31, 33, 36	syl3anc 1326	. 2 |- ( A e. W -> ( ( N ` [ A ] .~ ) = [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ <-> ( [ A ] .~ ( +g ` G ) [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ ) = ( 0g ` G ) ) )
38	28, 37	mpbird 247	1 |- ( A e. W -> ( N ` [ A ] .~ ) = [ ( M o. (reverse ` A ) ) ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   <.cop 4183   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Er wer 7739   [cec 7740   0cc0 9936   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   splice csplice 13296  reversecreverse 13297   <"cs2 13586   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   ~_FG cefg 18119  freeGrpcfrgp 18120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-frmd 17386  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-efg 18122  df-frgp 18123

This theorem is referenced by:  vrgpinv  18182