Theorem vrgpinv 18182

Description: The inverse of a generating element is represented by <. A , 1 >. instead of <. A , 0 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vrgpfval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
vrgpfval.u	|- U = (varFGrp ` I )
vrgpf.m	|- G = (freeGrp ` I )
vrgpinv.n	|- N = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
vrgpinv	|- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( N ` ( U ` A ) ) = [ <" <. A , 1o >. "> ] .~ )

Proof of Theorem vrgpinv

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vrgpfval.r	. . . 4 |- .~ = ( ~FG ` I )
2		vrgpfval.u	. . . 4 |- U = (varFGrp ` I )
3	1, 2	vrgpval 18180	. . 3 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( U ` A ) = [ <" <. A , (/) >. "> ] .~ )
4	3	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( N ` ( U ` A ) ) = ( N ` [ <" <. A , (/) >. "> ] .~ ) )
5		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> A e. I )
6		0ex 4790	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
7	6	prid1 4297	. . . . . . 7 |- (/) e. { (/) , 1o }
8		df2o3 7573	. . . . . . 7 |- 2o = { (/) , 1o }
9	7, 8	eleqtrri 2700	. . . . . 6 |- (/) e. 2o
10		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( A e. I /\ (/) e. 2o ) -> <. A , (/) >. e. ( I X. 2o ) )
11	5, 9, 10	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> <. A , (/) >. e. ( I X. 2o ) )
12	11	s1cld 13383	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> <" <. A , (/) >. "> e. Word ( I X. 2o ) )
13		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> I e. V )
14		2on 7568	. . . . . 6 |- 2o e. On
15		xpexg 6960	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ 2o e. On ) -> ( I X. 2o ) e. _V )
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( I X. 2o ) e. _V )
17		wrdexg 13315	. . . . 5 |- ( ( I X. 2o ) e. _V -> Word ( I X. 2o ) e. _V )
18		fvi 6255	. . . . 5 |- (Word ( I X. 2o ) e. _V -> ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) = Word ( I X. 2o ) )
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) = Word ( I X. 2o ) )
20	12, 19	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> <" <. A , (/) >. "> e. ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
22		vrgpf.m	. . . 4 |- G = (freeGrp ` I )
23		vrgpinv.n	. . . 4 |- N = ( invg ` G )
24		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) = ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. )
25	21, 22, 1, 23, 24	frgpinv 18177	. . 3 |- ( <" <. A , (/) >. "> e. ( _I ` Word ( I X. 2o ) ) -> ( N ` [ <" <. A , (/) >. "> ] .~ ) = [ ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) o. (reverse ` <" <. A , (/) >. "> ) ) ] .~ )
26	20, 25	syl 17	. 2 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( N ` [ <" <. A , (/) >. "> ] .~ ) = [ ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) o. (reverse ` <" <. A , (/) >. "> ) ) ] .~ )
27		revs1 13514	. . . . . 6 |- (reverse ` <" <. A , (/) >. "> ) = <" <. A , (/) >. ">
28	27	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> (reverse ` <" <. A , (/) >. "> ) = <" <. A , (/) >. "> )
29	28	coeq2d 5284	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) o. (reverse ` <" <. A , (/) >. "> ) ) = ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) o. <" <. A , (/) >. "> ) )
30	24	efgmf 18126	. . . . 5 |- ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o )
31		s1co 13579	. . . . 5 |- ( ( <. A , (/) >. e. ( I X. 2o ) /\ ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) : ( I X. 2o ) --> ( I X. 2o ) ) -> ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) o. <" <. A , (/) >. "> ) = <" ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) ` <. A , (/) >. ) "> )
32	11, 30, 31	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) o. <" <. A , (/) >. "> ) = <" ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) ` <. A , (/) >. ) "> )
33	24	efgmval 18125	. . . . . . 7 |- ( ( A e. I /\ (/) e. 2o ) -> ( A ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) (/) ) = <. A , ( 1o \ (/) ) >. )
34	5, 9, 33	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( A ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) (/) ) = <. A , ( 1o \ (/) ) >. )
35		df-ov 6653	. . . . . 6 |- ( A ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) (/) ) = ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) ` <. A , (/) >. )
36		dif0 3950	. . . . . . 7 |- ( 1o \ (/) ) = 1o
37	36	opeq2i 4406	. . . . . 6 |- <. A , ( 1o \ (/) ) >. = <. A , 1o >.
38	34, 35, 37	3eqtr3g 2679	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) ` <. A , (/) >. ) = <. A , 1o >. )
39	38	s1eqd 13381	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> <" ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) ` <. A , (/) >. ) "> = <" <. A , 1o >. "> )
40	29, 32, 39	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) o. (reverse ` <" <. A , (/) >. "> ) ) = <" <. A , 1o >. "> )
41	40	eceq1d 7783	. 2 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> [ ( ( x e. I , y e. 2o |-> <. x , ( 1o \ y ) >. ) o. (reverse ` <" <. A , (/) >. "> ) ) ] .~ = [ <" <. A , 1o >. "> ] .~ )
42	4, 26, 41	3eqtrd 2660	1 |- ( ( I e. V /\ A e. I ) -> ( N ` ( U ` A ) ) = [ <" <. A , 1o >. "> ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   {cpr 4179   <.cop 4183   _I cid 5023   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Oncon0 5723   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1oc1o 7553   2oc2o 7554   [cec 7740  Word cword 13291   <"cs1 13294  reversecreverse 13297   invgcminusg 17423   ~_FG cefg 18119  freeGrpcfrgp 18120  var_FGrpcvrgp 18121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-frmd 17386  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-efg 18122  df-frgp 18123  df-vrgp 18124

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18190