Theorem epfrs 8607

Description: The strong form of the Axiom of Regularity (no sethood requirement on A), with the axiom itself present as an antecedent. See also zfregs 8608. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
epfrs	|- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem epfrs

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . 3 |- ( A =/= (/) <-> E. z z e. A )
2		snssi 4339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A -> { z } C_ A )
3	2	anim2i 593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) )
4		ssin 3835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
5		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
6	5	snss 4316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( y i^i A ) <-> { z } C_ ( y i^i A ) )
7	4, 6	bitr4i 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { z } C_ y /\ { z } C_ A ) <-> z e. ( y i^i A ) )
8	3, 7	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> z e. ( y i^i A ) )
9		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y i^i A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( y i^i A ) =/= (/) )
11		inss2 3834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y i^i A ) C_ A
12		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
13	12	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y i^i A ) e. _V
14	13	epfrc 5100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) C_ A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
15	11, 14	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) )
16		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( y i^i A ) <-> ( x e. y /\ x e. A ) )
17	16	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) )
18		anass 681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. y /\ x e. A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
19	17, 18	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) <-> ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) )
20		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x i^i A ) =/= (/) <-> E. w w e. ( x i^i A ) )
21		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x i^i A ) C_ x
22	21	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( x i^i A ) -> w e. x )
23	22	ancri 575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. ( x i^i A ) -> ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) )
24		trel 4759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> w e. y ) )
25		inass 3823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( A i^i x ) )
26		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( A i^i x ) = ( x i^i A )
27	26	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( y i^i ( A i^i x ) ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
28	25, 27	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( y i^i A ) i^i x ) = ( y i^i ( x i^i A ) )
29	28	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) <-> w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) )
30		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( w e. ( y i^i ( x i^i A ) ) <-> ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) )
31	29, 30	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) <-> w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) )
32		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( w e. ( ( y i^i A ) i^i x ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
33	31, 32	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( w e. y /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) )
34	33	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
35	24, 34	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ x e. y ) -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
36	35	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( x e. y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
37	36	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Tr y -> ( w e. x -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) ) )
38	37	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Tr y -> ( ( w e. x /\ w e. ( x i^i A ) ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
39	23, 38	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Tr y -> ( w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
40	39	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Tr y -> ( E. w w e. ( x i^i A ) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
41	20, 40	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( x e. y -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
42	41	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Tr y -> ( x e. y -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) ) )
43	42	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x i^i A ) =/= (/) -> ( ( y i^i A ) i^i x ) =/= (/) ) )
44	43	necon4d 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> ( x i^i A ) = (/) ) )
45	44	anim2d 589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Tr y /\ x e. y ) -> ( ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
46	45	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr y -> ( ( x e. y /\ ( x e. A /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
47	19, 46	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr y -> ( ( x e. ( y i^i A ) /\ ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) ) -> ( x e. A /\ ( x i^i A ) = (/) ) ) )
48	47	reximdv2 3014	. . . . . . . . . . 11 |- ( Tr y -> ( E. x e. ( y i^i A ) ( ( y i^i A ) i^i x ) = (/) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
49	15, 48	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( Tr y -> ( ( _E Fr A /\ ( y i^i A ) =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
50	49	expcomd 454	. . . . . . . . 9 |- ( Tr y -> ( ( y i^i A ) =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
51	10, 50	syl5 34	. . . . . . . 8 |- ( Tr y -> ( ( { z } C_ y /\ z e. A ) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
52	51	expd 452	. . . . . . 7 |- ( Tr y -> ( { z } C_ y -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) ) )
53	52	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
54	53	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) ) -> ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) ) )
55		snex 4908	. . . . . 6 |- { z } e. _V
56	55	tz9.1 8605	. . . . 5 |- E. y ( { z } C_ y /\ Tr y /\ A. w ( ( { z } C_ w /\ Tr w ) -> y C_ w ) )
57	54, 56	exlimiiv 1859	. . . 4 |- ( z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
58	57	exlimiv 1858	. . 3 |- ( E. z z e. A -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
59	1, 58	sylbi 207	. 2 |- ( A =/= (/) -> ( _E Fr A -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) ) )
60	59	impcom 446	1 |- ( ( _E Fr A /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A ( x i^i A ) = (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   Tr wtr 4752   _E cep 5028   Fr wfr 5070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  zfregs  8608