Theorem tz9.1c 8606

Description: Alternate expression for the existence of transitive closures tz9.1 8605: the intersection of all transitive sets containing A is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
tz9.1.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
tz9.1c	|- |^| { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } e. _V

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem tz9.1c

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tz9.1.1	. . . . 5 |- A e. _V
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) = ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) = U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w )
4	1, 2, 3	trcl 8604	. . . 4 |- ( A C_ U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) /\ Tr U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) /\ A. x ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) C_ x ) )
5		3simpa 1058	. . . 4 |- ( ( A C_ U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) /\ Tr U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) /\ A. x ( ( A C_ x /\ Tr x ) -> U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) C_ x ) ) -> ( A C_ U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) /\ Tr U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) ) )
6		omex 8540	. . . . . 6 |- om e. _V
7		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) e. _V
8	6, 7	iunex 7147	. . . . 5 |- U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) e. _V
9		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( x = U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) -> ( A C_ x <-> A C_ U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) ) )
10		treq 4758	. . . . . 6 |- ( x = U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) -> ( Tr x <-> Tr U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) ) )
11	9, 10	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) -> ( ( A C_ x /\ Tr x ) <-> ( A C_ U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) /\ Tr U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) ) ) )
12	8, 11	spcev 3300	. . . 4 |- ( ( A C_ U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) /\ Tr U_ w e. om ( ( rec ( ( z e. _V |-> ( z u. U. z ) ) , A ) |` om ) ` w ) ) -> E. x ( A C_ x /\ Tr x ) )
13	4, 5, 12	mp2b 10	. . 3 |- E. x ( A C_ x /\ Tr x )
14		abn0 3954	. . 3 |- ( { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } =/= (/) <-> E. x ( A C_ x /\ Tr x ) )
15	13, 14	mpbir 221	. 2 |- { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } =/= (/)
16		intex 4820	. 2 |- ( { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } =/= (/) <-> |^| { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } e. _V )
17	15, 16	mpbi 220	1 |- |^| { x | ( A C_ x /\ Tr x ) } e. _V

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   Tr wtr 4752   |` cres 5116   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  tcvalg  8614