Theorem f0 6086

Description: The empty function. (Contributed by NM, 14-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
f0	|- (/) : (/) --> A

Proof of Theorem f0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- (/) = (/)
2		fn0 6011	. . 3 |- ( (/) Fn (/) <-> (/) = (/) )
3	1, 2	mpbir 221	. 2 |- (/) Fn (/)
4		rn0 5377	. . 3 |- ran (/) = (/)
5		0ss 3972	. . 3 |- (/) C_ A
6	4, 5	eqsstri 3635	. 2 |- ran (/) C_ A
7		df-f 5892	. 2 |- ( (/) : (/) --> A <-> ( (/) Fn (/) /\ ran (/) C_ A ) )
8	3, 6, 7	mpbir2an 955	1 |- (/) : (/) --> A

Syntax hints:   = wceq 1483   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892

This theorem is referenced by:  f00  6087  f0bi  6088  f10  6169  map0g  7897  ac6sfi  8204  oif  8435  wrd0  13330  0csh0  13539  ram0  15726  0ssc  16497  0subcat  16498  gsum0  17278  ga0  17731  0frgp  18192  ptcmpfi  21616  0met  22171  perfdvf  23667  uhgr0e  25966  uhgr0  25968  griedg0prc  26156  locfinref  29908  matunitlindf  33407  poimirlem28  33437  mapdm0OLD  39383  climlimsupcex  40001  0cnf  40090  dvnprodlem3  40163  mbf0  40173  sge00  40593  hoidmvlelem3  40811