Theorem ram0 15726

Description: The Ramsey number when R = (/). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ram0	|- ( M e. NN0 -> ( M Ramsey (/) ) = M )

Proof of Theorem ram0

Dummy variables b f c s x a i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
2		id 22	. . 3 |- ( M e. NN0 -> M e. NN0 )
3		0ex 4790	. . . 4 |- (/) e. _V
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( M e. NN0 -> (/) e. _V )
5		f0 6086	. . . 4 |- (/) : (/) --> NN0
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( M e. NN0 -> (/) : (/) --> NN0 )
7		f00 6087	. . . . 5 |- ( f : ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) --> (/) <-> ( f = (/) /\ ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = (/) ) )
8		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- s e. _V
9		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> M e. NN0 )
10	1	hashbcval 15706	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. _V /\ M e. NN0 ) -> ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = { x e. ~P s | ( # ` x ) = M } )
11	8, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = { x e. ~P s | ( # ` x ) = M } )
12		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
13	12	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN0 -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) <_ ( # ` s ) <-> M <_ ( # ` s ) ) )
14	13	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( # ` ( 1 ... M ) ) <_ ( # ` s ) )
15		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( 1 ... M ) e. Fin )
16		hashdom 13168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... M ) e. Fin /\ s e. _V ) -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) <_ ( # ` s ) <-> ( 1 ... M ) ~<_ s ) )
17	15, 8, 16	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( ( # ` ( 1 ... M ) ) <_ ( # ` s ) <-> ( 1 ... M ) ~<_ s ) )
18	14, 17	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( 1 ... M ) ~<_ s )
19	8	domen 7968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... M ) ~<_ s <-> E. x ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) )
20	18, 19	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> E. x ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) )
21		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) /\ ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) ) -> x C_ s )
22		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ~P s <-> x C_ s )
23	21, 22	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) /\ ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) ) -> x e. ~P s )
24		hasheni 13136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 ... M ) ~~ x -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = ( # ` x ) )
25	24	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) /\ ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) ) -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = ( # ` x ) )
26	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) /\ ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) ) -> ( # ` ( 1 ... M ) ) = M )
27	25, 26	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) /\ ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) ) -> ( # ` x ) = M )
28	23, 27	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) /\ ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) ) -> ( x e. ~P s /\ ( # ` x ) = M ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) -> ( x e. ~P s /\ ( # ` x ) = M ) ) )
30	29	eximdv 1846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( E. x ( ( 1 ... M ) ~~ x /\ x C_ s ) -> E. x ( x e. ~P s /\ ( # ` x ) = M ) ) )
31	20, 30	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> E. x ( x e. ~P s /\ ( # ` x ) = M ) )
32		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x e. ~P s ( # ` x ) = M <-> E. x ( x e. ~P s /\ ( # ` x ) = M ) )
33	31, 32	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> E. x e. ~P s ( # ` x ) = M )
34		rabn0 3958	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. ~P s | ( # ` x ) = M } =/= (/) <-> E. x e. ~P s ( # ` x ) = M )
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> { x e. ~P s | ( # ` x ) = M } =/= (/) )
36	11, 35	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) =/= (/) )
37	36	neneqd 2799	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> -. ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = (/) )
38	37	pm2.21d 118	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = (/) -> E. c e. (/) E. x e. ~P s ( ( (/) ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
39	38	adantld 483	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( ( f = (/) /\ ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = (/) ) -> E. c e. (/) E. x e. ~P s ( ( (/) ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
40	7, 39	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( # ` s ) ) -> ( f : ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) --> (/) -> E. c e. (/) E. x e. ~P s ( ( (/) ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) ) )
41	40	impr 649	. . 3 |- ( ( M e. NN0 /\ ( M <_ ( # ` s ) /\ f : ( s ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) --> (/) ) ) -> E. c e. (/) E. x e. ~P s ( ( (/) ` c ) <_ ( # ` x ) /\ ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' f " { c } ) ) )
42	1, 2, 4, 6, 2, 41	ramub 15717	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( M Ramsey (/) ) <_ M )
43		nnnn0 11299	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
44	3	a1i 11	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> (/) e. _V )
45	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> (/) : (/) --> NN0 )
46		nnm1nn0 11334	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
47		f0 6086	. . . . . . 7 |- (/) : (/) --> (/)
48		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( 1 ... ( M - 1 ) ) e. Fin )
49	1	hashbc2 15710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) e. Fin /\ M e. NN0 ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) = ( ( # ` ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) _C M ) )
50	48, 43, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( # ` ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) = ( ( # ` ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) _C M ) )
51		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M - 1 ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) = ( M - 1 ) )
52	46, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( # ` ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) = ( M - 1 ) )
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( # ` ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) _C M ) = ( ( M - 1 ) _C M ) )
54		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
55		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> M e. RR )
56	55	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) < M )
57	56	olcd 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( M < 0 \/ ( M - 1 ) < M ) )
58		bcval4 13094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M - 1 ) e. NN0 /\ M e. ZZ /\ ( M < 0 \/ ( M - 1 ) < M ) ) -> ( ( M - 1 ) _C M ) = 0 )
59	46, 54, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( ( M - 1 ) _C M ) = 0 )
60	50, 53, 59	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( # ` ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) = 0 )
61		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) e. _V
62		hasheq0 13154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) e. _V -> ( ( # ` ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) = 0 <-> ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = (/) ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( # ` ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) ) = 0 <-> ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = (/) )
64	60, 63	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) = (/) )
65	64	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( (/) : ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) --> (/) <-> (/) : (/) --> (/) ) )
66	47, 65	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> (/) : ( ( 1 ... ( M - 1 ) ) ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) --> (/) )
67		noel 3919	. . . . . . . 8 |- -. c e. (/)
68	67	pm2.21i 116	. . . . . . 7 |- ( c e. (/) -> ( ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' (/) " { c } ) -> ( # ` x ) < ( (/) ` c ) ) )
69	68	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( c e. (/) /\ x C_ ( 1 ... ( M - 1 ) ) ) ) -> ( ( x ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } ) M ) C_ ( `' (/) " { c } ) -> ( # ` x ) < ( (/) ` c ) ) )
70	1, 43, 44, 45, 46, 66, 69	ramlb 15723	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) < ( M Ramsey (/) ) )
71		ramubcl 15722	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN0 /\ (/) e. _V /\ (/) : (/) --> NN0 ) /\ ( M e. NN0 /\ ( M Ramsey (/) ) <_ M ) ) -> ( M Ramsey (/) ) e. NN0 )
72	2, 4, 6, 2, 42, 71	syl32anc 1334	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M Ramsey (/) ) e. NN0 )
73	43, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( M Ramsey (/) ) e. NN0 )
74		nn0lem1lt 11442	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ ( M Ramsey (/) ) e. NN0 ) -> ( M <_ ( M Ramsey (/) ) <-> ( M - 1 ) < ( M Ramsey (/) ) ) )
75	43, 73, 74	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( M <_ ( M Ramsey (/) ) <-> ( M - 1 ) < ( M Ramsey (/) ) ) )
76	70, 75	mpbird 247	. . . 4 |- ( M e. NN -> M <_ ( M Ramsey (/) ) )
77	76	a1i 11	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( M e. NN -> M <_ ( M Ramsey (/) ) ) )
78	72	nn0ge0d 11354	. . . 4 |- ( M e. NN0 -> 0 <_ ( M Ramsey (/) ) )
79		breq1 4656	. . . 4 |- ( M = 0 -> ( M <_ ( M Ramsey (/) ) <-> 0 <_ ( M Ramsey (/) ) ) )
80	78, 79	syl5ibrcom 237	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( M = 0 -> M <_ ( M Ramsey (/) ) ) )
81		elnn0 11294	. . . 4 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
82	81	biimpi 206	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
83	77, 80, 82	mpjaod 396	. 2 |- ( M e. NN0 -> M <_ ( M Ramsey (/) ) )
84	72	nn0red 11352	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( M Ramsey (/) ) e. RR )
85		nn0re 11301	. . 3 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
86	84, 85	letri3d 10179	. 2 |- ( M e. NN0 -> ( ( M Ramsey (/) ) = M <-> ( ( M Ramsey (/) ) <_ M /\ M <_ ( M Ramsey (/) ) ) ) )
87	42, 83, 86	mpbir2and 957	1 |- ( M e. NN0 -> ( M Ramsey (/) ) = M )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   _C cbc 13089   #chash 13117   Ramsey cram 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-ram 15705

This theorem is referenced by:  0ramcl  15727  ramcl  15733