Theorem ptcmpfi 21616

Description: A topological product of finitely many compact spaces is compact. This weak version of Tychonoff's theorem does not require the axiom of choice. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ptcmpfi	|- ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` F ) e. Comp )

Proof of Theorem ptcmpfi

Dummy variables v u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6045	. . . . 5 |- ( F : A --> Comp -> F Fn A )
2		fnresdm 6000	. . . . 5 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( F : A --> Comp -> ( F |` A ) = F )
4	3	adantl 482	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( F |` A ) = F )
5	4	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) = ( Xt_ ` F ) )
6		ssid 3624	. . . 4 |- A C_ A
7		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x C_ A <-> (/) C_ A ) )
8		reseq2 5391	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( F |` x ) = ( F |` (/) ) )
9		res0 5400	. . . . . . . . . 10 |- ( F |` (/) ) = (/)
10	8, 9	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( F |` x ) = (/) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) = ( Xt_ ` (/) ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp <-> ( Xt_ ` (/) ) e. Comp ) )
13	12	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp ) <-> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` (/) ) e. Comp ) ) )
14	7, 13	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` (/) ) e. Comp ) ) ) )
15		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x C_ A <-> y C_ A ) )
16		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( F |` x ) = ( F |` y ) )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) = ( Xt_ ` ( F |` y ) ) )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp <-> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp ) <-> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) ) )
20	15, 19	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp ) ) <-> ( y C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) ) ) )
21		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ A <-> ( y u. { z } ) C_ A ) )
22		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( F |` x ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) = ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
24	23	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp <-> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) )
25	24	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp ) <-> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) ) )
26	21, 25	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( x C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) ) ) )
27		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( x C_ A <-> A C_ A ) )
28		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( F |` x ) = ( F |` A ) )
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) = ( Xt_ ` ( F |` A ) ) )
30	29	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp <-> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Comp ) )
31	30	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp ) <-> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Comp ) ) )
32	27, 31	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( x C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` x ) ) e. Comp ) ) <-> ( A C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Comp ) ) ) )
33		0ex 4790	. . . . . . . . 9 |- (/) e. _V
34		f0 6086	. . . . . . . . 9 |- (/) : (/) --> Top
35		pttop 21385	. . . . . . . . 9 |- ( ( (/) e. _V /\ (/) : (/) --> Top ) -> ( Xt_ ` (/) ) e. Top )
36	33, 34, 35	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` (/) ) e. Top
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Xt_ ` (/) ) = ( Xt_ ` (/) )
38	37	ptuni 21397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. _V /\ (/) : (/) --> Top ) -> X_ x e. (/) U. ( (/) ` x ) = U. ( Xt_ ` (/) ) )
39	33, 34, 38	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- X_ x e. (/) U. ( (/) ` x ) = U. ( Xt_ ` (/) )
40		ixp0x 7936	. . . . . . . . . . . 12 |- X_ x e. (/) U. ( (/) ` x ) = { (/) }
41		snfi 8038	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. Fin
42	40, 41	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . 11 |- X_ x e. (/) U. ( (/) ` x ) e. Fin
43	39, 42	eqeltrri 2698	. . . . . . . . . 10 |- U. ( Xt_ ` (/) ) e. Fin
44		pwfi 8261	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ( Xt_ ` (/) ) e. Fin <-> ~P U. ( Xt_ ` (/) ) e. Fin )
45	43, 44	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ~P U. ( Xt_ ` (/) ) e. Fin
46		pwuni 4474	. . . . . . . . 9 |- ( Xt_ ` (/) ) C_ ~P U. ( Xt_ ` (/) )
47		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P U. ( Xt_ ` (/) ) e. Fin /\ ( Xt_ ` (/) ) C_ ~P U. ( Xt_ ` (/) ) ) -> ( Xt_ ` (/) ) e. Fin )
48	45, 46, 47	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` (/) ) e. Fin
49		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( ( Xt_ ` (/) ) e. ( Top i^i Fin ) <-> ( ( Xt_ ` (/) ) e. Top /\ ( Xt_ ` (/) ) e. Fin ) )
50	36, 48, 49	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- ( Xt_ ` (/) ) e. ( Top i^i Fin )
51		fincmp 21196	. . . . . . 7 |- ( ( Xt_ ` (/) ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( Xt_ ` (/) ) e. Comp )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` (/) ) e. Comp
53	52	2a1i 12	. . . . 5 |- ( (/) C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` (/) ) e. Comp ) )
54		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- y C_ ( y u. { z } )
55		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( y u. { z } ) C_ A )
56	54, 55	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( ( y u. { z } ) C_ A -> y C_ A )
57	56	imim1i 63	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) ) )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( Xt_ ` ( F |` y ) ) = U. ( Xt_ ` ( F |` y ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) = U. ( Xt_ ` ( F |` { z } ) )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) = ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) )
61		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y ) )
62	54, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) = ( F |` y )
63	62	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F |` y ) = ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y )
64	63	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Xt_ ` ( F |` y ) ) = ( Xt_ ` ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` y ) )
65		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { z } C_ ( y u. { z } )
66		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { z } C_ ( y u. { z } ) -> ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` { z } ) = ( F |` { z } ) )
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` { z } ) = ( F |` { z } )
68	67	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F |` { z } ) = ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` { z } )
69	68	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) = ( Xt_ ` ( ( F |` ( y u. { z } ) ) |` { z } ) )
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u e. U. ( Xt_ ` ( F |` y ) ) , v e. U. ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) |-> ( u u. v ) ) = ( u e. U. ( Xt_ ` ( F |` y ) ) , v e. U. ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) |-> ( u u. v ) )
71		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
72		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { z } e. _V
73	71, 72	unex 6956	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y u. { z } ) e. _V
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) e. _V )
75		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> F : A --> Comp )
76		cmptop 21198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. Comp -> x e. Top )
77	76	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Comp C_ Top
78		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : A --> Comp /\ Comp C_ Top ) -> F : A --> Top )
79	75, 77, 78	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> F : A --> Top )
80		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) C_ A )
81	79, 80	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) : ( y u. { z } ) --> Top )
82		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
83		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> -. z e. y )
84		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
85	83, 84	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
86	58, 59, 60, 64, 69, 70, 74, 81, 82, 85	ptunhmeo 21611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( u e. U. ( Xt_ ` ( F |` y ) ) , v e. U. ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) |-> ( u u. v ) ) e. ( ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) Homeo ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) ) )
87		hmphi 21580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. U. ( Xt_ ` ( F |` y ) ) , v e. U. ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) |-> ( u u. v ) ) e. ( ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) Homeo ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) ) -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) ~= ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) ~= ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) )
89	1	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> F Fn A )
90	65, 80	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> { z } C_ A )
91		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
92	91	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. A <-> { z } C_ A )
93	90, 92	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. A )
94		fnressn 6425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
95	89, 93, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
96	95	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) = ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) )
97		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) = ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } )
98	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> z e. _V )
99	75, 93	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( F ` z ) e. Comp )
100	77, 99	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( F ` z ) e. Top )
101		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- U. ( F ` z ) = U. ( F ` z )
102	101	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` z ) e. Top <-> ( F ` z ) e. (TopOn ` U. ( F ` z ) ) )
103	100, 102	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( F ` z ) e. (TopOn ` U. ( F ` z ) ) )
104	97, 98, 103	pt1hmeo 21609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( x e. U. ( F ` z ) |-> { <. z , x >. } ) e. ( ( F ` z ) Homeo ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) ) )
105		hmphi 21580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. U. ( F ` z ) |-> { <. z , x >. } ) e. ( ( F ` z ) Homeo ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) ) -> ( F ` z ) ~= ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( F ` z ) ~= ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) )
107		cmphmph 21591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` z ) ~= ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) -> ( ( F ` z ) e. Comp -> ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Comp ) )
108	106, 99, 107	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( Xt_ ` { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Comp )
109	96, 108	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) e. Comp )
110		txcmp 21446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp /\ ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) e. Comp ) -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) e. Comp )
111	110	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) e. Comp -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) e. Comp ) )
112	109, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) e. Comp ) )
113		cmphmph 21591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) ~= ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) -> ( ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) tX ( Xt_ ` ( F |` { z } ) ) ) e. Comp -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) )
114	88, 112, 113	sylsyld 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) ) -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) )
115	114	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) ) )
116	115	a2d 29	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ A ) -> ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) ) )
117	116	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( -. z e. y -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) ) ) )
118	117	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( -. z e. y -> ( ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) ) ) )
119	57, 118	syl5 34	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ( y C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) ) ) )
120	119	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` y ) ) e. Comp ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` ( y u. { z } ) ) ) e. Comp ) ) ) )
121	14, 20, 26, 32, 53, 120	findcard2s 8201	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( A C_ A -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Comp ) ) )
122	6, 121	mpi 20	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Comp ) )
123	122	anabsi5 858	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` ( F |` A ) ) e. Comp )
124	5, 123	eqeltrrd 2702	1 |- ( ( A e. Fin /\ F : A --> Comp ) -> ( Xt_ ` F ) e. Comp )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   X_cixp 7908   Fincfn 7955   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Compccmp 21189   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556   ~= chmph 21557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-hmph 21559

This theorem is referenced by:  poimirlem30  33439