Theorem sge00 40593

Description: The sum of nonnegative extended reals is zero when applied to the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge00	|- (Σ^ ` (/) ) = 0

Proof of Theorem sge00

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> (/) e. _V )
3		f0 6086	. . . . . 6 |- (/) : (/) --> ( 0 [,] +oo )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> (/) : (/) --> ( 0 [,] +oo ) )
5		noel 3919	. . . . . . 7 |- -. +oo e. (/)
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> -. +oo e. (/) )
7		rn0 5377	. . . . . . . 8 |- ran (/) = (/)
8	7	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- (/) = ran (/)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> (/) = ran (/) )
10	6, 9	neleqtrd 2722	. . . . 5 |- ( T. -> -. +oo e. ran (/) )
11	4, 10	fge0iccico 40587	. . . 4 |- ( T. -> (/) : (/) --> ( 0 [,) +oo ) )
12	2, 11	sge0reval 40589	. . 3 |- ( T. -> (Σ^ ` (/) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) , RR* , < ) )
13	12	trud 1493	. 2 |- (Σ^ ` (/) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) , RR* , < )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) = ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
16	15	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. _V -> ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) )
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
18	17	biimpi 206	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
19		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x z
20		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
21	20	nfrn 5368	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
22	19, 21	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ x z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
23		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x z = 0
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
25		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x e. ~P (/) )
26		pw0 4343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ~P (/) = { (/) }
27	26	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ~P (/) <-> x e. { (/) } )
28	27	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ~P (/) -> x e. { (/) } )
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x e. { (/) } )
30		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { (/) } -> x = (/) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> x = (/) )
32	31	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> sum_ y e. x ( (/) ` y ) = sum_ y e. (/) ( (/) ` y ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> sum_ y e. x ( (/) ` y ) = sum_ y e. (/) ( (/) ` y ) )
34		sum0 14452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sum_ y e. (/) ( (/) ` y ) = 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> sum_ y e. (/) ( (/) ` y ) = 0 )
36	24, 33, 35	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> z = 0 )
37	36	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) -> z = 0 ) )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) -> ( z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) -> z = 0 ) ) )
39	22, 23, 38	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> ( E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) z = sum_ y e. x ( (/) ` y ) -> z = 0 ) )
40	18, 39	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> z = 0 )
41		velsn 4193	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { 0 } <-> z = 0 )
42	41	bicomi 214	. . . . . . . . 9 |- ( z = 0 <-> z e. { 0 } )
43	42	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( z = 0 -> z e. { 0 } )
44	40, 43	syl 17	. . . . . . 7 |- ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) -> z e. { 0 } )
45		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( z e. { 0 } -> z = 0 )
46		0elpw 4834	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. ~P (/)
47		0fin 8188	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Fin
48	46, 47	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ~P (/) /\ (/) e. Fin )
49		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) e. ( ~P (/) i^i Fin ) <-> ( (/) e. ~P (/) /\ (/) e. Fin ) )
50	48, 49	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- (/) e. ( ~P (/) i^i Fin )
51	34	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- 0 = sum_ y e. (/) ( (/) ` y )
52		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = (/) -> sum_ y e. x ( (/) ` y ) = sum_ y e. (/) ( (/) ` y ) )
53	52	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = (/) -> ( 0 = sum_ y e. x ( (/) ` y ) <-> 0 = sum_ y e. (/) ( (/) ` y ) ) )
54	53	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (/) e. ( ~P (/) i^i Fin ) /\ 0 = sum_ y e. (/) ( (/) ` y ) ) -> E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 = sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
55	50, 51, 54	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 = sum_ y e. x ( (/) ` y )
56		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
57	15	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 e. RR -> ( 0 e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 = sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) )
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P (/) i^i Fin ) 0 = sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
59	55, 58	mpbir 221	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) )
60	59	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( z e. { 0 } -> 0 e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) )
61	45, 60	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( z e. { 0 } -> z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) )
62	44, 61	impbii 199	. . . . . 6 |- ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) <-> z e. { 0 } )
63	62	ax-gen 1722	. . . . 5 |- A. z ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) <-> z e. { 0 } )
64		dfcleq 2616	. . . . 5 |- ( ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) = { 0 } <-> A. z ( z e. ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) <-> z e. { 0 } ) )
65	63, 64	mpbir 221	. . . 4 |- ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) = { 0 }
66	65	supeq1i 8353	. . 3 |- sup ( ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) , RR* , < ) = sup ( { 0 } , RR* , < )
67		xrltso 11974	. . . 4 |- < Or RR*
68		0xr 10086	. . . 4 |- 0 e. RR*
69		supsn 8378	. . . 4 |- ( ( < Or RR* /\ 0 e. RR* ) -> sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0 )
70	67, 68, 69	mp2an 708	. . 3 |- sup ( { 0 } , RR* , < ) = 0
71	66, 70	eqtri 2644	. 2 |- sup ( ran ( x e. ( ~P (/) i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( (/) ` y ) ) , RR* , < ) = 0
72	13, 71	eqtri 2644	1 |- (Σ^ ` (/) ) = 0

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0cl  40598  sge0isum  40644  ismeannd  40684  psmeasure  40688  isomennd  40745