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Theorem eulerpartlemgs2 30442
Description: Lemma for eulerpart 30444: The G function also preserves partition sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
eulerpart.p |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
eulerpart.o |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
eulerpart.d |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
eulerpart.j |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
eulerpart.f |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
eulerpart.h |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
eulerpart.m |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
eulerpart.r |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
eulerpart.t |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
eulerpart.g |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
eulerpart.s |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
Assertion
Ref Expression
eulerpartlemgs2 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` A ) ) = ( S ` A ) )
Distinct variable groups:   f, g, k, n, o, x, y, z   f, r, A, g, k, n, o, x, y   f, G, k   n, F, o, x, y   o, H, r   f, J, n, o, r, x, y   n, M, o, r, x, y   f, N, g, k, n, x   n, O, r, x, y   P, g, k, n   R, f, k, n, o, r, x, y   T, f, k, n, o, r, x, y
Allowed substitution hints:   A( z)   D( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   P( x, y, z, f, o, r)   R( z, g)   S( x, y, z, f, g, k, n, o, r)   T( z, g)   F( z, f, g, k, r)   G( x, y, z, g, n, o, r)   H( x, y, z, f, g, k, n)   J( z, g, k)   M( z, f, g, k)   N( y, z, o, r)   O( z, f, g, k, o)
Proof of Theorem eulerpartlemgs2
Dummy variables t m w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5485 . . . . . . . 8 |- ( `' ( G ` A ) " NN ) C_ dom ( G ` A )
2 eulerpart.p . . . . . . . . . . . . . 14 |- P = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( ( `' f " NN ) e. Fin /\ sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) = N ) }
3 eulerpart.o . . . . . . . . . . . . . 14 |- O = { g e. P | A. n e. ( `' g " NN ) -. 2 || n }
4 eulerpart.d . . . . . . . . . . . . . 14 |- D = { g e. P | A. n e. NN ( g ` n ) <_ 1 }
5 eulerpart.j . . . . . . . . . . . . . 14 |- J = { z e. NN | -. 2 || z }
6 eulerpart.f . . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( x e. J , y e. NN0 |-> ( ( 2 ^ y ) x. x ) )
7 eulerpart.h . . . . . . . . . . . . . 14 |- H = { r e. ( ( ~P NN0 i^i Fin ) ^m J ) | ( r supp (/) ) e. Fin }
8 eulerpart.m . . . . . . . . . . . . . 14 |- M = ( r e. H |-> { <. x , y >. | ( x e. J /\ y e. ( r ` x ) ) } )
9 eulerpart.r . . . . . . . . . . . . . 14 |- R = { f | ( `' f " NN ) e. Fin }
10 eulerpart.t . . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { f e. ( NN0 ^m NN ) | ( `' f " NN ) C_ J }
11 eulerpart.g . . . . . . . . . . . . . 14 |- G = ( o e. ( T i^i R ) |-> ( (𝟭 ` NN ) ` ( F " ( M ` (bits o. ( o |` J ) ) ) ) ) )
122, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartgbij 30434 . . . . . . . . . . . . 13 |- G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
13 f1of 6137 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : ( T i^i R ) -1-1-onto-> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) -> G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- G : ( T i^i R ) --> ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R )
1514ffvelrni 6358 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( G ` A ) e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) )
16 elin 3796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` A ) e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( G ` A ) e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ ( G ` A ) e. R ) )
1715, 16sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( G ` A ) e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ ( G ` A ) e. R ) )
1817simpld 475 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( G ` A ) e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) )
19 elmapi 7879 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` A ) e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> ( G ` A ) : NN --> { 0 , 1 } )
20 fdm 6051 . . . . . . . . 9 |- ( ( G ` A ) : NN --> { 0 , 1 } -> dom ( G ` A ) = NN )
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( T i^i R ) -> dom ( G ` A ) = NN )
221, 21syl5sseq 3653 . . . . . . 7 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( `' ( G ` A ) " NN ) C_ NN )
2322sselda 3603 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ) -> k e. NN )
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartlemgvv 30438 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. NN ) -> ( ( G ` A ) ` k ) = if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) )
2524oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` A ) ` k ) x. k ) = ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) )
2623, 25syldan 487 . . . . 5 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ) -> ( ( ( G ` A ) ` k ) x. k ) = ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) )
2726sumeq2dv 14433 . . . 4 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ( ( ( G ` A ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) )
28 eqeq2 2633 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = k -> ( ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m <-> ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k ) )
29282rexbidv 3057 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = k -> ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m <-> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k ) )
3029elrab 3363 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } <-> ( k e. NN /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k ) )
3130simprbi 480 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k )
3231iftrued 4094 . . . . . . . . 9 |- ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) = 1 )
3332oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) = ( 1 x. k ) )
34 elrabi 3359 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> k e. NN )
3534nncnd 11036 . . . . . . . . 9 |- ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> k e. CC )
3635mulid2d 10058 . . . . . . . 8 |- ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> ( 1 x. k ) = k )
3733, 36eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) = k )
3837sumeq2i 14429 . . . . . 6 |- sum_ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) = sum_ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } k
39 id 22 . . . . . . 7 |- ( k = ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) -> k = ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) )
402, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11eulerpartlemgf 30441 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( `' ( G ` A ) " NN ) e. Fin )
4134adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> k e. NN )
4241, 24syldan 487 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> ( ( G ` A ) ` k ) = if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) )
4331adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k )
4443iftrued 4094 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) = 1 )
4542, 44eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> ( ( G ` A ) ` k ) = 1 )
46 1nn 11031 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
4745, 46syl6eqel 2709 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> ( ( G ` A ) ` k ) e. NN )
4818, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( G ` A ) : NN --> { 0 , 1 } )
49 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` A ) : NN --> { 0 , 1 } -> ( G ` A ) Fn NN )
50 elpreima 6337 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G ` A ) Fn NN -> ( k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) <-> ( k e. NN /\ ( ( G ` A ) ` k ) e. NN ) ) )
5148, 49, 503syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) <-> ( k e. NN /\ ( ( G ` A ) ` k ) e. NN ) ) )
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> ( k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) <-> ( k e. NN /\ ( ( G ` A ) ` k ) e. NN ) ) )
5341, 47, 52mpbir2and 957 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) )
5453ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ) )
5554ssrdv 3609 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } C_ ( `' ( G ` A ) " NN ) )
56 ssfi 8180 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' ( G ` A ) " NN ) e. Fin /\ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } C_ ( `' ( G ` A ) " NN ) ) -> { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } e. Fin )
5740, 55, 56syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( T i^i R ) -> { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } e. Fin )
58 cnvexg 7112 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( T i^i R ) -> `' A e. _V )
59 imaexg 7103 . . . . . . . . . . 11 |- ( `' A e. _V -> ( `' A " NN ) e. _V )
60 inex1g 4801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' A " NN ) e. _V -> ( ( `' A " NN ) i^i J ) e. _V )
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( `' A " NN ) i^i J ) e. _V )
62 snex 4908 . . . . . . . . . . . 12 |- { t } e. _V
63 fvex 6201 . . . . . . . . . . . 12 |- (bits ` ( A ` t ) ) e. _V
6462, 63xpex 6962 . . . . . . . . . . 11 |- ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) e. _V
6564rgenw 2924 . . . . . . . . . 10 |- A. t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) e. _V
66 iunexg 7143 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( `' A " NN ) i^i J ) e. _V /\ A. t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) e. _V ) -> U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) e. _V )
6761, 65, 66sylancl 694 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) e. _V )
68 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) = U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) )
692, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 68eulerpartlemgh 30440 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( F |` U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) : U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) -1-1-onto-> { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } )
70 f1oeng 7974 . . . . . . . . 9 |- ( ( U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) e. _V /\ ( F |` U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) : U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) -1-1-onto-> { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ~~ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } )
7167, 69, 70syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( T i^i R ) -> U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ~~ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } )
72 enfii 8177 . . . . . . . 8 |- ( ( { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } e. Fin /\ U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ~~ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) e. Fin )
7357, 71, 72syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( A e. ( T i^i R ) -> U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) e. Fin )
74 fvres 6207 . . . . . . . . 9 |- ( w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> ( ( F |` U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) ` w ) = ( F ` w ) )
7574adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( F |` U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) ` w ) = ( F ` w ) )
76 inss2 3834 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' A " NN ) i^i J ) C_ J
77 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) )
7876, 77sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> t e. J )
7978snssd 4340 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> { t } C_ J )
80 bitsss 15148 . . . . . . . . . . . . 13 |- (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0
81 xpss12 5225 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { t } C_ J /\ (bits ` ( A ` t ) ) C_ NN0 ) -> ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) )
8279, 80, 81sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) )
8382ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A. t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) )
84 iunss 4561 . . . . . . . . . . 11 |- ( U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) <-> A. t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) )
8583, 84sylibr 224 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( T i^i R ) -> U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) C_ ( J X. NN0 ) )
8685sselda 3603 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> w e. ( J X. NN0 ) )
875, 6oddpwdcv 30417 . . . . . . . . 9 |- ( w e. ( J X. NN0 ) -> ( F ` w ) = ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) )
8886, 87syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( F ` w ) = ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) )
8975, 88eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( F |` U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) ` w ) = ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) )
9041nncnd 11036 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> k e. CC )
9139, 73, 69, 89, 90fsumf1o 14454 . . . . . 6 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } k = sum_ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) )
9238, 91syl5eq 2668 . . . . 5 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) = sum_ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) )
93 ax-1cn 9994 . . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
94 0cn 10032 . . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
9593, 94keepel 4155 . . . . . . . 8 |- if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) e. CC
9695a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) e. CC )
97 ssrab2 3687 . . . . . . . . 9 |- { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } C_ NN
98 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } )
9997, 98sseldi 3601 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> k e. NN )
10099nncnd 11036 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> k e. CC )
10196, 100mulcld 10060 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) -> ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) e. CC )
102 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) )
103102eldifbd 3587 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> -. k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } )
10422ssdifssd 3748 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) C_ NN )
105104sselda 3603 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> k e. NN )
10630notbii 310 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } <-> -. ( k e. NN /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k ) )
107 imnan 438 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN -> -. E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k ) <-> -. ( k e. NN /\ E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k ) )
108106, 107sylbb2 228 . . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } -> ( k e. NN -> -. E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k ) )
109103, 105, 108sylc 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> -. E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k )
110109iffalsed 4097 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) = 0 )
111110oveq1d 6665 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) = ( 0 x. k ) )
112 nnsscn 11025 . . . . . . . . . 10 |- NN C_ CC
113104, 112syl6ss 3615 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) C_ CC )
114113sselda 3603 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> k e. CC )
115114mul02d 10234 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> ( 0 x. k ) = 0 )
116111, 115eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ k e. ( ( `' ( G ` A ) " NN ) \ { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ) ) -> ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) = 0 )
11755, 101, 116, 40fsumss 14456 . . . . 5 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. { m e. NN | E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = m } ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) = sum_ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) )
11892, 117eqtr3d 2658 . . . 4 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) = sum_ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ( if ( E. t e. NN E. n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = k , 1 , 0 ) x. k ) )
1192, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10eulerpartlemt0 30431 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( T i^i R ) <-> ( A e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' A " NN ) e. Fin /\ ( `' A " NN ) C_ J ) )
120119simp1bi 1076 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A e. ( NN0 ^m NN ) )
121 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( NN0 ^m NN ) -> A : NN --> NN0 )
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A : NN --> NN0 )
123122adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> A : NN --> NN0 )
124 cnvimass 5485 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' A " NN ) C_ dom A
125 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A : NN --> NN0 -> dom A = NN )
126122, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( T i^i R ) -> dom A = NN )
127124, 126syl5sseq 3653 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( `' A " NN ) C_ NN )
128127adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> ( `' A " NN ) C_ NN )
129 inss1 3833 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' A " NN ) i^i J ) C_ ( `' A " NN )
130129, 77sseldi 3601 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> t e. ( `' A " NN ) )
131128, 130sseldd 3604 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> t e. NN )
132123, 131ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> ( A ` t ) e. NN0 )
133 bitsfi 15159 . . . . . . . . 9 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
134132, 133syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> (bits ` ( A ` t ) ) e. Fin )
135131nncnd 11036 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> t e. CC )
136 2cnd 11093 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> 2 e. CC )
137 simprr 796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. (bits ` ( A ` t ) ) )
13880, 137sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> n e. NN0 )
139136, 138expcld 13008 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
140139anassrs 680 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) -> ( 2 ^ n ) e. CC )
141134, 135, 140fsummulc1 14517 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> ( sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ n ) x. t ) = sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) )
142141sumeq2dv 14433 . . . . . 6 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ n ) x. t ) = sum_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) )
143 bitsinv1 15164 . . . . . . . . 9 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ n ) = ( A ` t ) )
144143oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( A ` t ) e. NN0 -> ( sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ n ) x. t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
145132, 144syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ) -> ( sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ n ) x. t ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
146145sumeq2dv 14433 . . . . . 6 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( 2 ^ n ) x. t ) = sum_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( ( A ` t ) x. t ) )
147 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- t e. _V
148 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- n e. _V
149147, 148op2ndd 7179 . . . . . . . . 9 |- ( w = <. t , n >. -> ( 2nd ` w ) = n )
150149oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( w = <. t , n >. -> ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) = ( 2 ^ n ) )
151147, 148op1std 7178 . . . . . . . 8 |- ( w = <. t , n >. -> ( 1st ` w ) = t )
152150, 151oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( w = <. t , n >. -> ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) = ( ( 2 ^ n ) x. t ) )
153 inss2 3834 . . . . . . . . . 10 |- ( T i^i R ) C_ R
154153sseli 3599 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A e. R )
155 cnveq 5296 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = A -> `' f = `' A )
156155imaeq1d 5465 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = A -> ( `' f " NN ) = ( `' A " NN ) )
157156eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( f = A -> ( ( `' f " NN ) e. Fin <-> ( `' A " NN ) e. Fin ) )
158157, 9elab2g 3353 . . . . . . . . 9 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( A e. R <-> ( `' A " NN ) e. Fin ) )
159154, 158mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( `' A " NN ) e. Fin )
160 ssfi 8180 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' A " NN ) e. Fin /\ ( ( `' A " NN ) i^i J ) C_ ( `' A " NN ) ) -> ( ( `' A " NN ) i^i J ) e. Fin )
161159, 129, 160sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( `' A " NN ) i^i J ) e. Fin )
162135adantrr 753 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> t e. CC )
163139, 162mulcld 10060 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( T i^i R ) /\ ( t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) /\ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ n ) x. t ) e. CC )
164152, 161, 134, 163fsum2d 14502 . . . . . 6 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) sum_ n e. (bits ` ( A ` t ) ) ( ( 2 ^ n ) x. t ) = sum_ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) )
165142, 146, 1643eqtr3d 2664 . . . . 5 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( ( A ` t ) x. t ) = sum_ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) )
166 inss1 3833 . . . . . . . . 9 |- ( T i^i R ) C_ T
167166sseli 3599 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A e. T )
168156sseq1d 3632 . . . . . . . . . 10 |- ( f = A -> ( ( `' f " NN ) C_ J <-> ( `' A " NN ) C_ J ) )
169168, 10elrab2 3366 . . . . . . . . 9 |- ( A e. T <-> ( A e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( `' A " NN ) C_ J ) )
170169simprbi 480 . . . . . . . 8 |- ( A e. T -> ( `' A " NN ) C_ J )
171167, 170syl 17 . . . . . . 7 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( `' A " NN ) C_ J )
172 df-ss 3588 . . . . . . 7 |- ( ( `' A " NN ) C_ J <-> ( ( `' A " NN ) i^i J ) = ( `' A " NN ) )
173171, 172sylib 208 . . . . . 6 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( ( `' A " NN ) i^i J ) = ( `' A " NN ) )
174173sumeq1d 14431 . . . . 5 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( ( A ` t ) x. t ) = sum_ t e. ( `' A " NN ) ( ( A ` t ) x. t ) )
175165, 174eqtr3d 2658 . . . 4 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ w e. U_ t e. ( ( `' A " NN ) i^i J ) ( { t } X. (bits ` ( A ` t ) ) ) ( ( 2 ^ ( 2nd ` w ) ) x. ( 1st ` w ) ) = sum_ t e. ( `' A " NN ) ( ( A ` t ) x. t ) )
17627, 118, 1753eqtr2d 2662 . . 3 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ( ( ( G ` A ) ` k ) x. k ) = sum_ t e. ( `' A " NN ) ( ( A ` t ) x. t ) )
177 fveq2 6191 . . . . 5 |- ( k = t -> ( A ` k ) = ( A ` t ) )
178 id 22 . . . . 5 |- ( k = t -> k = t )
179177, 178oveq12d 6668 . . . 4 |- ( k = t -> ( ( A ` k ) x. k ) = ( ( A ` t ) x. t ) )
180179cbvsumv 14426 . . 3 |- sum_ k e. ( `' A " NN ) ( ( A ` k ) x. k ) = sum_ t e. ( `' A " NN ) ( ( A ` t ) x. t )
181176, 180syl6eqr 2674 . 2 |- ( A e. ( T i^i R ) -> sum_ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ( ( ( G ` A ) ` k ) x. k ) = sum_ k e. ( `' A " NN ) ( ( A ` k ) x. k ) )
182 0nn0 11307 . . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
183 1nn0 11308 . . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
184 prssi 4353 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } C_ NN0 )
185182, 183, 184mp2an 708 . . . . . . 7 |- { 0 , 1 } C_ NN0
186 fss 6056 . . . . . . 7 |- ( ( ( G ` A ) : NN --> { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ NN0 ) -> ( G ` A ) : NN --> NN0 )
187185, 186mpan2 707 . . . . . 6 |- ( ( G ` A ) : NN --> { 0 , 1 } -> ( G ` A ) : NN --> NN0 )
188 nn0ex 11298 . . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
189 nnex 11026 . . . . . . . 8 |- NN e. _V
190188, 189elmap 7886 . . . . . . 7 |- ( ( G ` A ) e. ( NN0 ^m NN ) <-> ( G ` A ) : NN --> NN0 )
191190biimpri 218 . . . . . 6 |- ( ( G ` A ) : NN --> NN0 -> ( G ` A ) e. ( NN0 ^m NN ) )
19219, 187, 1913syl 18 . . . . 5 |- ( ( G ` A ) e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) -> ( G ` A ) e. ( NN0 ^m NN ) )
193192anim1i 592 . . . 4 |- ( ( ( G ` A ) e. ( { 0 , 1 } ^m NN ) /\ ( G ` A ) e. R ) -> ( ( G ` A ) e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( G ` A ) e. R ) )
194 elin 3796 . . . 4 |- ( ( G ` A ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) <-> ( ( G ` A ) e. ( NN0 ^m NN ) /\ ( G ` A ) e. R ) )
195193, 16, 1943imtr4i 281 . . 3 |- ( ( G ` A ) e. ( ( { 0 , 1 } ^m NN ) i^i R ) -> ( G ` A ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
196 eulerpart.s . . . 4 |- S = ( f e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) |-> sum_ k e. NN ( ( f ` k ) x. k ) )
1979, 196eulerpartlemsv2 30420 . . 3 |- ( ( G ` A ) e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` ( G ` A ) ) = sum_ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ( ( ( G ` A ) ` k ) x. k ) )
19815, 195, 1973syl 18 . 2 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` A ) ) = sum_ k e. ( `' ( G ` A ) " NN ) ( ( ( G ` A ) ` k ) x. k ) )
199120, 154elind 3798 . . 3 |- ( A e. ( T i^i R ) -> A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) )
2009, 196eulerpartlemsv2 30420 . . 3 |- ( A e. ( ( NN0 ^m NN ) i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( `' A " NN ) ( ( A ` k ) x. k ) )
201199, 200syl 17 . 2 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( S ` A ) = sum_ k e. ( `' A " NN ) ( ( A ` k ) x. k ) )
202181, 198, 2013eqtr4d 2666 1 |- ( A e. ( T i^i R ) -> ( S ` ( G ` A ) ) = ( S ` A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983  bitscbits 15141  𝟭cind 30072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-bits 15144  df-ind 30073
This theorem is referenced by:  eulerpartlemn  30443
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