Theorem fictb 9067

Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fictb	|- ( A e. B -> ( A ~<_ om <-> ( fi ` A ) ~<_ om ) )

Proof of Theorem fictb

Dummy variables x f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 7966	. . . . 5 |- ( A ~<_ om -> E. f f : A -1-1-> om )
2	1	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ A ~<_ om ) -> E. f f : A -1-1-> om )
3		reldom 7961	. . . . . 6 |- Rel ~<_
4	3	brrelex2i 5159	. . . . 5 |- ( A ~<_ om -> om e. _V )
5		omelon2 7077	. . . . . . . . . . 11 |- ( om e. _V -> om e. On )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> om e. On )
7		pwexg 4850	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. B -> ~P A e. _V )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ~P A e. _V )
9		inex1g 4801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P A e. _V -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ~P A i^i Fin ) e. _V )
11		difss 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) C_ ( ~P A i^i Fin )
12		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V -> ( ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) C_ ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) ~<_ ( ~P A i^i Fin ) ) )
13	10, 11, 12	mpisyl 21	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) ~<_ ( ~P A i^i Fin ) )
14		f1f1orn 6148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A -1-1-> om -> f : A -1-1-onto-> ran f )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> f : A -1-1-onto-> ran f )
16		f1opwfi 8270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : A -1-1-onto-> ran f -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( f " x ) ) : ( ~P A i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P ran f i^i Fin ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( f " x ) ) : ( ~P A i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P ran f i^i Fin ) )
18		f1oeng 7974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) e. _V /\ ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> ( f " x ) ) : ( ~P A i^i Fin ) -1-1-onto-> ( ~P ran f i^i Fin ) ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ ( ~P ran f i^i Fin ) )
19	10, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~~ ( ~P ran f i^i Fin ) )
20		pwexg 4850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( om e. _V -> ~P om e. _V )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ~P om e. _V )
22		inex1g 4801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P om e. _V -> ( ~P om i^i Fin ) e. _V )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ~P om i^i Fin ) e. _V )
24		f1f 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A -1-1-> om -> f : A --> om )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> f : A --> om )
26		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : A --> om -> ran f C_ om )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ran f C_ om )
28		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ran f C_ om <-> ~P ran f C_ ~P om )
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ~P ran f C_ ~P om )
30		ssrin 3838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ~P ran f C_ ~P om -> ( ~P ran f i^i Fin ) C_ ( ~P om i^i Fin ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ~P ran f i^i Fin ) C_ ( ~P om i^i Fin ) )
32		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ~P om i^i Fin ) e. _V -> ( ( ~P ran f i^i Fin ) C_ ( ~P om i^i Fin ) -> ( ~P ran f i^i Fin ) ~<_ ( ~P om i^i Fin ) ) )
33	23, 31, 32	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ~P ran f i^i Fin ) ~<_ ( ~P om i^i Fin ) )
34		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = z -> { f } = { z } )
35		pweq 4161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = z -> ~P f = ~P z )
36	34, 35	xpeq12d 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = z -> ( { f } X. ~P f ) = ( { z } X. ~P z ) )
37	36	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ f e. x ( { f } X. ~P f ) = U_ z e. x ( { z } X. ~P z )
38		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> U_ z e. x ( { z } X. ~P z ) = U_ z e. y ( { z } X. ~P z ) )
39	37, 38	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> U_ f e. x ( { f } X. ~P f ) = U_ z e. y ( { z } X. ~P z ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( card ` U_ f e. x ( { f } X. ~P f ) ) = ( card ` U_ z e. y ( { z } X. ~P z ) ) )
41	40	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ f e. x ( { f } X. ~P f ) ) ) = ( y e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ z e. y ( { z } X. ~P z ) ) )
42	41	ackbij1 9060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ f e. x ( { f } X. ~P f ) ) ) : ( ~P om i^i Fin ) -1-1-onto-> om
43		f1oeng 7974	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ~P om i^i Fin ) e. _V /\ ( x e. ( ~P om i^i Fin ) |-> ( card ` U_ f e. x ( { f } X. ~P f ) ) ) : ( ~P om i^i Fin ) -1-1-onto-> om ) -> ( ~P om i^i Fin ) ~~ om )
44	23, 42, 43	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ~P om i^i Fin ) ~~ om )
45		domentr 8015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ~P ran f i^i Fin ) ~<_ ( ~P om i^i Fin ) /\ ( ~P om i^i Fin ) ~~ om ) -> ( ~P ran f i^i Fin ) ~<_ om )
46	33, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ~P ran f i^i Fin ) ~<_ om )
47		endomtr 8014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) ~~ ( ~P ran f i^i Fin ) /\ ( ~P ran f i^i Fin ) ~<_ om ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ om )
48	19, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ~P A i^i Fin ) ~<_ om )
49		domtr 8009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) ~<_ ( ~P A i^i Fin ) /\ ( ~P A i^i Fin ) ~<_ om ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) ~<_ om )
50	13, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) ~<_ om )
51		ondomen 8860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( om e. On /\ ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) ~<_ om ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) e. dom card )
52	6, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) e. dom card )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y ) = ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y )
54	53	fifo 8338	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. B -> ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y ) : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )
55	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y ) : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) )
56		fodomnum 8880	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) e. dom card -> ( ( y e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) |-> |^| y ) : ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -onto-> ( fi ` A ) -> ( fi ` A ) ~<_ ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) ) )
57	52, 55, 56	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( fi ` A ) ~<_ ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) )
58		domtr 8009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( fi ` A ) ~<_ ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) ~<_ om ) -> ( fi ` A ) ~<_ om )
59	57, 50, 58	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ om e. _V ) /\ f : A -1-1-> om ) -> ( fi ` A ) ~<_ om )
60	59	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ om e. _V ) -> ( f : A -1-1-> om -> ( fi ` A ) ~<_ om ) )
61	60	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ om e. _V ) -> ( E. f f : A -1-1-> om -> ( fi ` A ) ~<_ om ) )
62	4, 61	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ A ~<_ om ) -> ( E. f f : A -1-1-> om -> ( fi ` A ) ~<_ om ) )
63	2, 62	mpd 15	. . 3 |- ( ( A e. B /\ A ~<_ om ) -> ( fi ` A ) ~<_ om )
64	63	ex 450	. 2 |- ( A e. B -> ( A ~<_ om -> ( fi ` A ) ~<_ om ) )
65		fvex 6201	. . . 4 |- ( fi ` A ) e. _V
66		ssfii 8325	. . . 4 |- ( A e. B -> A C_ ( fi ` A ) )
67		ssdomg 8001	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) e. _V -> ( A C_ ( fi ` A ) -> A ~<_ ( fi ` A ) ) )
68	65, 66, 67	mpsyl 68	. . 3 |- ( A e. B -> A ~<_ ( fi ` A ) )
69		domtr 8009	. . . 4 |- ( ( A ~<_ ( fi ` A ) /\ ( fi ` A ) ~<_ om ) -> A ~<_ om )
70	69	ex 450	. . 3 |- ( A ~<_ ( fi ` A ) -> ( ( fi ` A ) ~<_ om -> A ~<_ om ) )
71	68, 70	syl 17	. 2 |- ( A e. B -> ( ( fi ` A ) ~<_ om -> A ~<_ om ) )
72	64, 71	impbid 202	1 |- ( A e. B -> ( A ~<_ om <-> ( fi ` A ) ~<_ om ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |^|cint 4475   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Oncon0 5723   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   ficfi 8316   cardccrd 8761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  2ndcsb  21252