Theorem rabfodom 29344

Description: Domination relation for restricted abstract class builders, based on a surjective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabfodom.1	|- ( ( ph /\ x e. A /\ y = ( F ` x ) ) -> ( ch <-> ps ) )
rabfodom.2	|- ( ph -> A e. V )
rabfodom.3	|- ( ph -> F : A -onto-> B )

Assertion

Ref	Expression
rabfodom	|- ( ph -> { y e. B | ch } ~<_ { x e. A | ps } )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, F, y   x, V, y   ph, x, y   ps, y   ch, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( y)

Proof of Theorem rabfodom

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . 6 |- a e. _V
2	1	rabex 4813	. . . . 5 |- { x e. a | ps } e. _V
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. a |-> ( F ` x ) ) = ( x e. a |-> ( F ` x ) )
4		rabfodom.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : A -onto-> B )
5		fof 6115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A -onto-> B -> F : A --> B )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
7	6	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
9	8	reseq1d 5395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> ( F |` a ) = ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` a ) )
10		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ~P A -> a C_ A )
11	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> a C_ A )
12	11	resmptd 5452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` a ) = ( x e. a |-> ( F ` x ) ) )
13	9, 12	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> ( F |` a ) = ( x e. a |-> ( F ` x ) ) )
14		f1oeq1 6127	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` a ) = ( x e. a |-> ( F ` x ) ) -> ( ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B <-> ( x e. a |-> ( F ` x ) ) : a -1-1-onto-> B ) )
15	14	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` a ) = ( x e. a |-> ( F ` x ) ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> ( x e. a |-> ( F ` x ) ) : a -1-1-onto-> B )
16	13, 15	sylancom 701	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> ( x e. a |-> ( F ` x ) ) : a -1-1-onto-> B )
17		simp1ll 1124	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) /\ x e. a /\ y = ( F ` x ) ) -> ph )
18	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) /\ x e. a /\ y = ( F ` x ) ) -> a C_ A )
19		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) /\ x e. a /\ y = ( F ` x ) ) -> x e. a )
20	18, 19	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) /\ x e. a /\ y = ( F ` x ) ) -> x e. A )
21		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) /\ x e. a /\ y = ( F ` x ) ) -> y = ( F ` x ) )
22		rabfodom.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y = ( F ` x ) ) -> ( ch <-> ps ) )
23	17, 20, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) /\ x e. a /\ y = ( F ` x ) ) -> ( ch <-> ps ) )
24	3, 16, 23	f1oresrab 6395	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> ( ( x e. a |-> ( F ` x ) ) |` { x e. a | ps } ) : { x e. a | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } )
25		f1oeng 7974	. . . . 5 |- ( ( { x e. a | ps } e. _V /\ ( ( x e. a |-> ( F ` x ) ) |` { x e. a | ps } ) : { x e. a | ps } -1-1-onto-> { y e. B | ch } ) -> { x e. a | ps } ~~ { y e. B | ch } )
26	2, 24, 25	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> { x e. a | ps } ~~ { y e. B | ch } )
27	26	ensymd 8007	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> { y e. B | ch } ~~ { x e. a | ps } )
28		rabfodom.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
29		rabexg 4812	. . . . . 6 |- ( A e. V -> { x e. A | ps } e. _V )
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | ps } e. _V )
31	30	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> { x e. A | ps } e. _V )
32		rabss2 3685	. . . . 5 |- ( a C_ A -> { x e. a | ps } C_ { x e. A | ps } )
33	11, 32	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> { x e. a | ps } C_ { x e. A | ps } )
34		ssdomg 8001	. . . 4 |- ( { x e. A | ps } e. _V -> ( { x e. a | ps } C_ { x e. A | ps } -> { x e. a | ps } ~<_ { x e. A | ps } ) )
35	31, 33, 34	sylc 65	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> { x e. a | ps } ~<_ { x e. A | ps } )
36		endomtr 8014	. . 3 |- ( ( { y e. B | ch } ~~ { x e. a | ps } /\ { x e. a | ps } ~<_ { x e. A | ps } ) -> { y e. B | ch } ~<_ { x e. A | ps } )
37	27, 35, 36	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P A ) /\ ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B ) -> { y e. B | ch } ~<_ { x e. A | ps } )
38		foresf1o 29343	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A -onto-> B ) -> E. a e. ~P A ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B )
39	28, 4, 38	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E. a e. ~P A ( F |` a ) : a -1-1-onto-> B )
40	37, 39	r19.29a 3078	1 |- ( ph -> { y e. B | ch } ~<_ { x e. A | ps } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-r1 8627  df-rank 8628  df-card 8765  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  locfinreflem  29907