Theorem unbenlem 15612

Description: Lemma for unben 15613. (Contributed by NM, 5-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
unbenlem.1	|- G = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 1 ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
unbenlem	|- ( ( A C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ om )

Distinct variable groups:   m, n, A   m, G, n

Allowed substitution hints:   A( x)   G( x)

Proof of Theorem unbenlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
2	1	ssex 4802	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A e. _V )
3		1z 11407	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		unbenlem.1	. . . . . . . 8 |- G = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , 1 ) |` om )
5	3, 4	om2uzf1oi 12752	. . . . . . 7 |- G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 )
6		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7		f1oeq3 6129	. . . . . . . 8 |- ( NN = ( ZZ>= ` 1 ) -> ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN <-> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` 1 ) )
9	5, 8	mpbir 221	. . . . . 6 |- G : om -1-1-onto-> NN
10		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> `' G : NN -1-1-onto-> om )
11		f1of1 6136	. . . . . 6 |- ( `' G : NN -1-1-onto-> om -> `' G : NN -1-1-> om )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . 5 |- `' G : NN -1-1-> om
13		f1ores 6151	. . . . 5 |- ( ( `' G : NN -1-1-> om /\ A C_ NN ) -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
14	12, 13	mpan 706	. . . 4 |- ( A C_ NN -> ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) )
15		f1oeng 7974	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) ) -> A ~~ ( `' G " A ) )
16	2, 14, 15	syl2anc 693	. . 3 |- ( A C_ NN -> A ~~ ( `' G " A ) )
17	16	adantr 481	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ ( `' G " A ) )
18		imassrn 5477	. . . 4 |- ( `' G " A ) C_ ran `' G
19		dfdm4 5316	. . . . 5 |- dom G = ran `' G
20		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> G : om --> NN )
21	9, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- G : om --> NN
22	21	fdmi 6052	. . . . 5 |- dom G = om
23	19, 22	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ran `' G = om
24	18, 23	sseqtri 3637	. . 3 |- ( `' G " A ) C_ om
25	3, 4	om2uzuzi 12748	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( G ` y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	25, 6	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( G ` y ) e. NN )
27		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( G ` y ) -> ( m < n <-> ( G ` y ) < n ) )
28	27	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( G ` y ) -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A ( G ` y ) < n ) )
29	28	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G ` y ) e. NN -> ( A. m e. NN E. n e. A m < n -> E. n e. A ( G ` y ) < n ) )
30	26, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( A. m e. NN E. n e. A m < n -> E. n e. A ( G ` y ) < n ) )
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A C_ NN ) -> ( A. m e. NN E. n e. A m < n -> E. n e. A ( G ` y ) < n ) )
32		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' G |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' G " A ) -> `' ( `' G |` A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
33	14, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ NN -> `' ( `' G |` A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
34		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G : om -1-1-onto-> NN -> Fun G )
35	9, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Fun G
36		funcnvres2 5969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun G -> `' ( `' G |` A ) = ( G |` ( `' G " A ) ) )
37		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' ( `' G |` A ) = ( G |` ( `' G " A ) ) -> ( `' ( `' G |` A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A <-> ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A ) )
38	35, 36, 37	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( `' G |` A ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A <-> ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
39	33, 38	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A C_ NN -> ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A )
40		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A -> ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A )
41		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -onto-> A -> ran ( G |` ( `' G " A ) ) = A )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A -> ran ( G |` ( `' G " A ) ) = A )
43	42	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A -> ( n e. ran ( G |` ( `' G " A ) ) <-> n e. A ) )
44		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A -> ( G |` ( `' G " A ) ) Fn ( `' G " A ) )
45		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G |` ( `' G " A ) ) Fn ( `' G " A ) -> ( n e. ran ( G |` ( `' G " A ) ) <-> E. m e. ( `' G " A ) ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A -> ( n e. ran ( G |` ( `' G " A ) ) <-> E. m e. ( `' G " A ) ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n ) )
47	43, 46	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G |` ( `' G " A ) ) : ( `' G " A ) -1-1-onto-> A -> ( n e. A <-> E. m e. ( `' G " A ) ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n ) )
48	39, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A C_ NN -> ( n e. A <-> E. m e. ( `' G " A ) ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n ) )
49	48	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ NN /\ n e. A ) -> E. m e. ( `' G " A ) ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n )
50		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. ( `' G " A ) -> ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = ( G ` m ) )
51	50	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( `' G " A ) -> ( ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n <-> ( G ` m ) = n ) )
52	51	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. ( `' G " A ) /\ ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n ) -> ( G ` m ) = n )
53	52	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. om /\ m e. ( `' G " A ) ) /\ ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n ) -> ( G ` m ) = n )
54	24	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. ( `' G " A ) -> m e. om )
55	3, 4	om2uzlt2i 12750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. om /\ m e. om ) -> ( y e. m <-> ( G ` y ) < ( G ` m ) ) )
56	54, 55	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. om /\ m e. ( `' G " A ) ) -> ( y e. m <-> ( G ` y ) < ( G ` m ) ) )
57		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G ` m ) = n -> ( ( G ` y ) < ( G ` m ) <-> ( G ` y ) < n ) )
58	56, 57	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. om /\ m e. ( `' G " A ) ) /\ ( G ` m ) = n ) -> ( y e. m <-> ( G ` y ) < n ) )
59	53, 58	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. om /\ m e. ( `' G " A ) ) /\ ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n ) -> ( y e. m <-> ( G ` y ) < n ) )
60	59	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G ` y ) < n /\ ( ( y e. om /\ m e. ( `' G " A ) ) /\ ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n ) ) -> y e. m )
61	60	exp44 641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` y ) < n -> ( y e. om -> ( m e. ( `' G " A ) -> ( ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n -> y e. m ) ) ) )
62	61	imp31 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G ` y ) < n /\ y e. om ) /\ m e. ( `' G " A ) ) -> ( ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n -> y e. m ) )
63	62	reximdva 3017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G ` y ) < n /\ y e. om ) -> ( E. m e. ( `' G " A ) ( ( G |` ( `' G " A ) ) ` m ) = n -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) )
64	49, 63	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G ` y ) < n /\ y e. om ) -> ( ( A C_ NN /\ n e. A ) -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) )
65	64	exp4b 632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G ` y ) < n -> ( y e. om -> ( A C_ NN -> ( n e. A -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) ) ) )
66	65	com4l 92	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( A C_ NN -> ( n e. A -> ( ( G ` y ) < n -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) ) ) )
67	66	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ A C_ NN ) -> ( n e. A -> ( ( G ` y ) < n -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) ) )
68	67	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. om /\ A C_ NN ) -> ( E. n e. A ( G ` y ) < n -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) )
69	31, 68	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ A C_ NN ) -> ( A. m e. NN E. n e. A m < n -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) )
70	69	ex 450	. . . . . 6 |- ( y e. om -> ( A C_ NN -> ( A. m e. NN E. n e. A m < n -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) ) )
71	70	com3l 89	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> ( A. m e. NN E. n e. A m < n -> ( y e. om -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) ) )
72	71	imp 445	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( y e. om -> E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) )
73	72	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. y e. om E. m e. ( `' G " A ) y e. m )
74		unbnn3 8556	. . 3 |- ( ( ( `' G " A ) C_ om /\ A. y e. om E. m e. ( `' G " A ) y e. m ) -> ( `' G " A ) ~~ om )
75	24, 73, 74	sylancr 695	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( `' G " A ) ~~ om )
76		entr 8008	. 2 |- ( ( A ~~ ( `' G " A ) /\ ( `' G " A ) ~~ om ) -> A ~~ om )
77	17, 75, 76	syl2anc 693	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A ~~ om )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   ~~ cen 7952   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  unben  15613