4sqlem11 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > 4sqlem11		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem 4sqlem11 15659

Description: Lemma for 4sq 15668. Use the pigeonhole principle to show that the sets

and

have a common element,

. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1
4sq.2
4sq.3
4sq.4
4sqlem11.5
4sqlem11.6

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem11

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem 4sqlem11 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . . 6
2		4sqlem11.5	. . . . . . . 8
3		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13
4		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . 13
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
6		4sq.4	. . . . . . . . . . . . 13
7		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . 13
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
9		zmodfz 12692	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
10	5, 8, 9	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 $/\$
11		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . 11
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
13	12	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9
14	13	abssdv 3676	. . . . . . . 8
15	2, 14	syl5eqss 3649	. . . . . . 7
16		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	6, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
18		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
20	19	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13
21	20	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . 12
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
24	15	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 $/\$
25		fzrev3i 12407	. . . . . . . . . . 11
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	23, 26	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 $/\$
28		4sqlem11.6	. . . . . . . . 9
29	27, 28	fmptd 6385	. . . . . . . 8
30		frn 6053	. . . . . . . 8
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7
32	15, 31	unssd 3789	. . . . . 6
33		ssdomg 8001	. . . . . 6
34	1, 32, 33	sylc 65	. . . . 5
35		ssfi 8180	. . . . . . 7 $/\$
36	1, 32, 35	syl2anc 693	. . . . . 6
37		hashdom 13168	. . . . . 6 $/\$
38	36, 1, 37	syl2anc 693	. . . . 5
39	34, 38	mpbird 247	. . . 4
40		fz01en 12369	. . . . . . 7
41	17, 40	syl 17	. . . . . 6
42		fzfid 12772	. . . . . . 7
43		hashen 13135	. . . . . . 7 $/\$
44	1, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . 6
45	41, 44	mpbird 247	. . . . 5
46	8	nnnn0d 11351	. . . . . 6
47		hashfz1 13134	. . . . . 6
48	46, 47	syl 17	. . . . 5
49	45, 48	eqtrd 2656	. . . 4
50	39, 49	breqtrd 4679	. . 3
51		hashcl 13147	. . . . . 6
52	36, 51	syl 17	. . . . 5
53	52	nn0red 11352	. . . 4
54	17	zred 11482	. . . 4
55	53, 54	lenltd 10183	. . 3
56	50, 55	mpbid 222	. 2
57	54	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
58	57	ltp1d 10954	. . . . 5 $/\$
59		4sq.2	. . . . . . . . . 10
60	59	nncnd 11036	. . . . . . . . 9
61		1cnd 10056	. . . . . . . . 9
62	60, 60, 61, 61	add4d 10264	. . . . . . . 8
63		4sq.3	. . . . . . . . . 10
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
65		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11
66		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 $/\$
67	65, 60, 66	sylancr 695	. . . . . . . . . 10
68	67, 61, 61	addassd 10062	. . . . . . . . 9
69	60	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
71	64, 68, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
72	10	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
74	3	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
75	74, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
76		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
77	76	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
78		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
80		moddvds 14991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
81	73, 75, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
82	74	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
83	77	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
84		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
85	82, 83, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
86	85	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
87	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
88	74, 77	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
89	74, 77	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
90		euclemma 15425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $\/$
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $\/$
92	81, 86, 91	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
93	88	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
94		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
95	59	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
96		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
97	94, 95, 96	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
99	87, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
100	99	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
101	74	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
102	77	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
103	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
104		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
105	104	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
106		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
107	106	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
108	101, 102, 103, 103, 105, 107	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
109	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
110	109	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
111	108, 110	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
112	97	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
113	112, 63	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
115	93, 98, 100, 111, 114	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
116	93, 100	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
117	115, 116	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
119	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
120	88	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
121		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
122		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
123	89, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
124	123	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
126	120	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
127	123	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
128	127	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
129	89	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
131	82, 83	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$
132	131	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
133	132	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$
134	130, 133	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
135	134	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
136		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
137	128, 135, 136	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
139		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
140	82, 83, 139	abs3difd 14199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
141	82	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
143		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
144	143	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
145	101, 144	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
146	142, 145	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
147		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
148		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
149	147, 83, 148	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
150	83	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
151	150	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
152		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
153	152	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
154	102, 153	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
155	149, 151, 154	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
156	146, 155	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
157	140, 156	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
159	121, 125, 126, 138, 158	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
160		elnnz1 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
161	120, 159, 160	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
163	119, 161, 162	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
164	118, 163	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
165	164	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
166	165	necon4ad 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
167		dvdsabsb 15001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
168	99, 89, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
169		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
170	100, 124, 93, 169	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
171	157, 170	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
172	117, 171	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
174	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
175		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
176	174, 137, 175	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
177	173, 176	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
178	177	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
179	178	necon4ad 2813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
180	168, 179	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
181	166, 180	jaod 395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\/$
182	92, 181	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
183		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
184	183	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
185	182, 184	impbid1 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
186	185	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
187	72, 186	dom2lem 7995	. . . . . . . . . . . . . . . 16
188		f1f1orn 6148	. . . . . . . . . . . . . . . 16
189	187, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
190		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191	190	rnmpt 5371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
192	2, 191	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . 16
193		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . . . . . 16
194	192, 193	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
195	189, 194	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14
196		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15
197	196	f1oen 7976	. . . . . . . . . . . . . 14
198	195, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
199	198	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . 12
200		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15
201		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
202	60, 200, 201	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14
203	202	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
204	59	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16
205		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16
206	204, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
207	206	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14
208		fz01en 12369	. . . . . . . . . . . . . 14
209	207, 208	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
210	203, 209	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12
211		entr 8008	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
212	199, 210, 211	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
213		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
214	1, 15, 213	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
215		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12
216		hashen 13135	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
217	214, 215, 216	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
218	212, 217	mpbird 247	. . . . . . . . . 10
219		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . 11
220	206, 219	syl 17	. . . . . . . . . 10
221	218, 220	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
222	27	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15
223	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
224		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
225		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
226		zsscn 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
227	225, 226	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
228	224, 227	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
229	15, 228	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
230	229	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
231	230	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
232	229	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
233	232	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
234	223, 231, 233	subcanad 10435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
235	234	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
236	222, 235	dom2lem 7995	. . . . . . . . . . . . . 14
237		f1eq1 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15
238	28, 237	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14
239	236, 238	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13
240		f1f1orn 6148	. . . . . . . . . . . . 13
241	239, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
242		f1oeng 7974	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
243	214, 241, 242	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
244		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
245	1, 31, 244	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
246		hashen 13135	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
247	214, 245, 246	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11
248	243, 247	mpbird 247	. . . . . . . . . 10
249	248, 221	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9
250	221, 249	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
251	62, 71, 250	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7
252	251	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
253	214	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
254	245	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
255		simpr 477	. . . . . . 7 $/\$
256		hashun 13171	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
257	253, 254, 255, 256	syl3anc 1326	. . . . . 6 $/\$
258	252, 257	eqtr4d 2659	. . . . 5 $/\$
259	58, 258	breqtrd 4679	. . . 4 $/\$
260	259	ex 450	. . 3
261	260	necon3bd 2808	. 2
262	56, 261	mpd 15	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wrex 2913

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915 class class class wbr 4653

cmpt 4729

crn 5115

wf 5884

wf1 5885

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cen 7952

cdom 7953

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cmo 12668

cexp 12860

chash 13117

cabs 13974

cdvds 14983

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386

This theorem is referenced by: 4sqlem12 15660

W3C validator