Theorem canthp1lem2 9475

Description: Lemma for canthp1 9476. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
canthp1lem2.1	|- ( ph -> 1o ~< A )
canthp1lem2.2	|- ( ph -> F : ~P A -1-1-onto-> ( A +c 1o ) )
canthp1lem2.3	|- ( ph -> G : ( ( A +c 1o ) \ { ( F ` A ) } ) -1-1-onto-> A )
canthp1lem2.4	|- H = ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) )
canthp1lem2.5	|- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x ( H ` ( `' r " { y } ) ) = y ) ) }
canthp1lem2.6	|- B = U. dom W

Assertion

Ref	Expression
canthp1lem2	|- -. ph

Distinct variable groups:   x, r, y, A   B, r, x, y   H, r, x, y   ph, r, x, y   W, r, x, y

Allowed substitution hints:   F( x, y, r)   G( x, y, r)

Proof of Theorem canthp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		canthp1lem2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> 1o ~< A )
2		relsdom 7962	. . . . . . 7 |- Rel ~<
3	2	brrelex2i 5159	. . . . . 6 |- ( 1o ~< A -> A e. _V )
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
5		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ~P A e. _V )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ~P A e. _V )
7		canthp1lem2.2	. . . 4 |- ( ph -> F : ~P A -1-1-onto-> ( A +c 1o ) )
8		f1oeng 7974	. . . 4 |- ( ( ~P A e. _V /\ F : ~P A -1-1-onto-> ( A +c 1o ) ) -> ~P A ~~ ( A +c 1o ) )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ~P A ~~ ( A +c 1o ) )
10		ensym 8005	. . 3 |- ( ~P A ~~ ( A +c 1o ) -> ( A +c 1o ) ~~ ~P A )
11	9, 10	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A +c 1o ) ~~ ~P A )
12		canth2g 8114	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> A ~< ~P A )
13	4, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A ~< ~P A )
14		sdomen2 8105	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A ~~ ( A +c 1o ) -> ( A ~< ~P A <-> A ~< ( A +c 1o ) ) )
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ~< ~P A <-> A ~< ( A +c 1o ) ) )
16	13, 15	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A ~< ( A +c 1o ) )
17		sdomnen 7984	. . . . . . . . 9 |- ( A ~< ( A +c 1o ) -> -. A ~~ ( A +c 1o ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. A ~~ ( A +c 1o ) )
19		omelon 8543	. . . . . . . . . . . 12 |- om e. On
20		onenon 8775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( om e. On -> om e. dom card )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- om e. dom card
22		canthp1lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> G : ( ( A +c 1o ) \ { ( F ` A ) } ) -1-1-onto-> A )
23		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A +c 1o ) <-> ( F : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) /\ Fun `' F ) )
24	23	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A +c 1o ) -> Fun `' F )
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> Fun `' F )
26		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A +c 1o ) -> F : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) )
27	7, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> F : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) )
28		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : ~P A -1-1-onto-> ( A +c 1o ) -> F Fn ~P A )
29		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F Fn ~P A -> ( F |` ~P A ) = F )
30		foeq1 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F |` ~P A ) = F -> ( ( F |` ~P A ) : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) <-> F : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) ) )
31	7, 28, 29, 30	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( F |` ~P A ) : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) <-> F : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) ) )
32	27, 31	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F |` ~P A ) : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) )
33		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( F ` A ) e. _V
34		f1osng 6177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. _V /\ ( F ` A ) e. _V ) -> { <. A , ( F ` A ) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F ` A ) } )
35	4, 33, 34	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> { <. A , ( F ` A ) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F ` A ) } )
36	7, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> F Fn ~P A )
37		pwidg 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A e. _V -> A e. ~P A )
38	4, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> A e. ~P A )
39		fnressn 6425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( F Fn ~P A /\ A e. ~P A ) -> ( F |` { A } ) = { <. A , ( F ` A ) >. } )
40	36, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( F |` { A } ) = { <. A , ( F ` A ) >. } )
41		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F |` { A } ) = { <. A , ( F ` A ) >. } -> ( ( F |` { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F ` A ) } <-> { <. A , ( F ` A ) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F ` A ) } ) )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( F |` { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F ` A ) } <-> { <. A , ( F ` A ) >. } : { A } -1-1-onto-> { ( F ` A ) } ) )
43	35, 42	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( F |` { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F ` A ) } )
44		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F |` { A } ) : { A } -1-1-onto-> { ( F ` A ) } -> ( F |` { A } ) : { A } -onto-> { ( F ` A ) } )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( F |` { A } ) : { A } -onto-> { ( F ` A ) } )
46		resdif 6157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Fun `' F /\ ( F |` ~P A ) : ~P A -onto-> ( A +c 1o ) /\ ( F |` { A } ) : { A } -onto-> { ( F ` A ) } ) -> ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> ( ( A +c 1o ) \ { ( F ` A ) } ) )
47	25, 32, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> ( ( A +c 1o ) \ { ( F ` A ) } ) )
48		f1oco 6159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G : ( ( A +c 1o ) \ { ( F ` A ) } ) -1-1-onto-> A /\ ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> ( ( A +c 1o ) \ { ( F ` A ) } ) ) -> ( G o. ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A )
49	22, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( G o. ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A )
50		resco 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) = ( G o. ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) )
51		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) = ( G o. ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) ) -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A <-> ( G o. ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A ) )
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A <-> ( G o. ( F |` ( ~P A \ { A } ) ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A )
53	49, 52	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A )
54		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A -> ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) --> A )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) --> A )
56		0elpw 4834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (/) e. ~P A
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P A ) /\ x = A ) -> (/) e. ~P A )
58		sdom0 8092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- -. 1o ~< (/)
59		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( (/) = A -> ( 1o ~< (/) <-> 1o ~< A ) )
60	58, 59	mtbii 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( (/) = A -> -. 1o ~< A )
61	60	necon2ai 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1o ~< A -> (/) =/= A )
62	1, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> (/) =/= A )
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P A ) /\ x = A ) -> (/) =/= A )
64		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (/) e. ( ~P A \ { A } ) <-> ( (/) e. ~P A /\ (/) =/= A ) )
65	57, 63, 64	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P A ) /\ x = A ) -> (/) e. ( ~P A \ { A } ) )
66		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P A ) /\ -. x = A ) -> x e. ~P A )
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P A ) /\ -. x = A ) -> -. x = A )
68	67	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P A ) /\ -. x = A ) -> x =/= A )
69		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ~P A \ { A } ) <-> ( x e. ~P A /\ x =/= A ) )
70	66, 68, 69	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ~P A ) /\ -. x = A ) -> x e. ( ~P A \ { A } ) )
71	65, 70	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. ~P A ) -> if ( x = A , (/) , x ) e. ( ~P A \ { A } ) )
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) = ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) )
73	71, 72	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) : ~P A --> ( ~P A \ { A } ) )
74		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) --> A /\ ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) : ~P A --> ( ~P A \ { A } ) ) -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) : ~P A --> A )
75	55, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) : ~P A --> A )
76		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) : ~P A --> ( ~P A \ { A } ) -> ran ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) C_ ( ~P A \ { A } ) )
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ran ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) C_ ( ~P A \ { A } ) )
78		cores 5638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ran ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) C_ ( ~P A \ { A } ) -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) = ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) = ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) )
80		canthp1lem2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) )
81	79, 80	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) = H )
82	81	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) : ~P A --> A <-> H : ~P A --> A ) )
83	75, 82	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> H : ~P A --> A )
84		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ~P A i^i dom card ) C_ ~P A
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ~P A i^i dom card ) C_ ~P A )
86		canthp1lem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- W = { <. x , r >. | ( ( x C_ A /\ r C_ ( x X. x ) ) /\ ( r We x /\ A. y e. x ( H ` ( `' r " { y } ) ) = y ) ) }
87		canthp1lem2.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = U. dom W
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } )
89	86, 87, 88	canth4 9469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. _V /\ H : ~P A --> A /\ ( ~P A i^i dom card ) C_ ~P A ) -> ( B C_ A /\ ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C. B /\ ( H ` B ) = ( H ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) ) )
90	4, 83, 85, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B C_ A /\ ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C. B /\ ( H ` B ) = ( H ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) ) )
91	90	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B C_ A )
92	90	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C. B )
93	92	pssned 3705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) =/= B )
94	93	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B =/= ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) )
95	90	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( H ` B ) = ( H ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
96	80	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( H ` B ) = ( ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) ` B )
97	80	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( H ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = ( ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) )
98	95, 96, 97	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) ` B ) = ( ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
99		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A e. _V -> ( B e. ~P A <-> B C_ A ) )
100	4, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( B e. ~P A <-> B C_ A ) )
101	91, 100	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. ~P A )
102		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) : ~P A --> ( ~P A \ { A } ) /\ B e. ~P A ) -> ( ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) ` B ) = ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` B ) ) )
103	73, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) ` B ) = ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` B ) ) )
104	92	pssssd 3704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C_ B )
105	104, 91	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C_ A )
106		elpw2g 4827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A e. _V -> ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ~P A <-> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C_ A ) )
107	4, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ~P A <-> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C_ A ) )
108	105, 107	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ~P A )
109		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) : ~P A --> ( ~P A \ { A } ) /\ ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ~P A ) -> ( ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) ) )
110	73, 108, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( ( G o. F ) o. ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) ) )
111	98, 103, 110	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` B ) ) = ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` B ) ) = ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) ) )
113		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( (/) e. ~P A /\ B e. ~P A ) -> if ( B = A , (/) , B ) e. ~P A )
114	56, 101, 113	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> if ( B = A , (/) , B ) e. ~P A )
115		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = B -> ( x = A <-> B = A ) )
116		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = B -> x = B )
117	115, 116	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = B -> if ( x = A , (/) , x ) = if ( B = A , (/) , B ) )
118	117, 72	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. ~P A /\ if ( B = A , (/) , B ) e. ~P A ) -> ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` B ) = if ( B = A , (/) , B ) )
119	101, 114, 118	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` B ) = if ( B = A , (/) , B ) )
120		pssne 3703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( B C. A -> B =/= A )
121	120	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B C. A -> -. B = A )
122	121	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( B C. A -> if ( B = A , (/) , B ) = B )
123	119, 122	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` B ) = B )
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` B ) ) = ( ( G o. F ) ` B ) )
125		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( (/) e. ~P A /\ ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ~P A ) -> if ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A , (/) , ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) e. ~P A )
126	56, 108, 125	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> if ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A , (/) , ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) e. ~P A )
127		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) -> ( x = A <-> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A ) )
128		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) -> x = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) )
129	127, 128	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) -> if ( x = A , (/) , x ) = if ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A , (/) , ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
130	129, 72	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ~P A /\ if ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A , (/) , ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) e. ~P A ) -> ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = if ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A , (/) , ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
131	108, 126, 130	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = if ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A , (/) , ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = if ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A , (/) , ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
133		sspsstr 3712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C_ B /\ B C. A ) -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C. A )
134	104, 133	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) C. A )
135	134	pssned 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) =/= A )
136	135	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> -. ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A )
137	136	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> if ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) = A , (/) , ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) )
138	132, 137	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) )
139	138	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( G o. F ) ` ( ( x e. ~P A |-> if ( x = A , (/) , x ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) ) = ( ( G o. F ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
140	112, 124, 139	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( G o. F ) ` B ) = ( ( G o. F ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
141	101, 120	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( B e. ~P A /\ B =/= A ) )
142		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B e. ( ~P A \ { A } ) <-> ( B e. ~P A /\ B =/= A ) )
143	141, 142	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> B e. ( ~P A \ { A } ) )
144		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( B e. ( ~P A \ { A } ) -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` B ) = ( ( G o. F ) ` B ) )
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` B ) = ( ( G o. F ) ` B ) )
146	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ~P A )
147		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ( ~P A \ { A } ) <-> ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ~P A /\ ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) =/= A ) )
148	146, 135, 147	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ( ~P A \ { A } ) )
149		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ( ~P A \ { A } ) -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = ( ( G o. F ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
150	148, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) = ( ( G o. F ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
151	140, 145, 150	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` B ) = ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
152		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-onto-> A -> ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-> A )
153	53, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-> A )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-> A )
155		f1fveq 6519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) : ( ~P A \ { A } ) -1-1-> A /\ ( B e. ( ~P A \ { A } ) /\ ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) e. ( ~P A \ { A } ) ) ) -> ( ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` B ) = ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) <-> B = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
156	154, 143, 148, 155	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> ( ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` B ) = ( ( ( G o. F ) |` ( ~P A \ { A } ) ) ` ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) <-> B = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
157	151, 156	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ B C. A ) -> B = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) )
158	157	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B C. A -> B = ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) ) )
159	158	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B =/= ( `' ( W ` B ) " { ( H ` B ) } ) -> -. B C. A ) )
160	94, 159	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -. B C. A )
161		npss 3717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. B C. A <-> ( B C_ A -> B = A ) )
162	160, 161	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B C_ A -> B = A ) )
163	91, 162	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B = A )
164		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B = B
165		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W ` B ) = ( W ` B )
166	164, 165	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B = B /\ ( W ` B ) = ( W ` B ) )
167	84	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P A i^i dom card ) -> x e. ~P A )
168		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( H : ~P A --> A /\ x e. ~P A ) -> ( H ` x ) e. A )
169	83, 167, 168	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i dom card ) ) -> ( H ` x ) e. A )
170	86, 4, 169, 87	fpwwe 9468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( B W ( W ` B ) /\ ( H ` B ) e. B ) <-> ( B = B /\ ( W ` B ) = ( W ` B ) ) ) )
171	166, 170	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B W ( W ` B ) /\ ( H ` B ) e. B ) )
172	171	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B W ( W ` B ) )
173	86, 4	fpwwelem 9467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B W ( W ` B ) <-> ( ( B C_ A /\ ( W ` B ) C_ ( B X. B ) ) /\ ( ( W ` B ) We B /\ A. y e. B ( H ` ( `' ( W ` B ) " { y } ) ) = y ) ) ) )
174	172, 173	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( B C_ A /\ ( W ` B ) C_ ( B X. B ) ) /\ ( ( W ` B ) We B /\ A. y e. B ( H ` ( `' ( W ` B ) " { y } ) ) = y ) ) )
175	174	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( W ` B ) We B /\ A. y e. B ( H ` ( `' ( W ` B ) " { y } ) ) = y ) )
176	175	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( W ` B ) We B )
177		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W ` B ) e. _V
178		weeq1 5102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = ( W ` B ) -> ( r We B <-> ( W ` B ) We B ) )
179	177, 178	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W ` B ) We B -> E. r r We B )
180	176, 179	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. r r We B )
181		ween 8858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. dom card <-> E. r r We B )
182	180, 181	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. dom card )
183	163, 182	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. dom card )
184		domtri2 8815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( om e. dom card /\ A e. dom card ) -> ( om ~<_ A <-> -. A ~< om ) )
185	21, 183, 184	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( om ~<_ A <-> -. A ~< om ) )
186		infcda1 9015	. . . . . . . . . 10 |- ( om ~<_ A -> ( A +c 1o ) ~~ A )
187	185, 186	syl6bir 244	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -. A ~< om -> ( A +c 1o ) ~~ A ) )
188		ensym 8005	. . . . . . . . 9 |- ( ( A +c 1o ) ~~ A -> A ~~ ( A +c 1o ) )
189	187, 188	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -. A ~< om -> A ~~ ( A +c 1o ) ) )
190	18, 189	mt3d 140	. . . . . . 7 |- ( ph -> A ~< om )
191		2onn 7720	. . . . . . . 8 |- 2o e. om
192		nnsdom 8551	. . . . . . . 8 |- ( 2o e. om -> 2o ~< om )
193	191, 192	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 2o ~< om
194		cdafi 9012	. . . . . . 7 |- ( ( A ~< om /\ 2o ~< om ) -> ( A +c 2o ) ~< om )
195	190, 193, 194	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A +c 2o ) ~< om )
196		isfinite 8549	. . . . . 6 |- ( ( A +c 2o ) e. Fin <-> ( A +c 2o ) ~< om )
197	195, 196	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ph -> ( A +c 2o ) e. Fin )
198		sssucid 5802	. . . . . . . . . 10 |- 1o C_ suc 1o
199		df-2o 7561	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
200	198, 199	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . 9 |- 1o C_ 2o
201		xpss1 5228	. . . . . . . . 9 |- ( 1o C_ 2o -> ( 1o X. { 1o } ) C_ ( 2o X. { 1o } ) )
202	200, 201	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1o X. { 1o } ) C_ ( 2o X. { 1o } )
203		unss2 3784	. . . . . . . 8 |- ( ( 1o X. { 1o } ) C_ ( 2o X. { 1o } ) -> ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) C_ ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) )
204	202, 203	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) C_ ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) )
205		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 |- ( 2o X. { 1o } ) C_ ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) )
206		1onn 7719	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. om
207	206	elexi 3213	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. _V
208	207	sucid 5804	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. suc 1o
209	208, 199	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. 2o
210	207	snid 4208	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. { 1o }
211		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1o e. 2o /\ 1o e. { 1o } ) -> <. 1o , 1o >. e. ( 2o X. { 1o } ) )
212	209, 210, 211	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- <. 1o , 1o >. e. ( 2o X. { 1o } )
213	205, 212	sselii 3600	. . . . . . . 8 |- <. 1o , 1o >. e. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) )
214		1n0 7575	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o =/= (/)
215	214	neii 2796	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1o = (/)
216		opelxp2 5151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( A X. { (/) } ) -> 1o e. { (/) } )
217		elsni 4194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o e. { (/) } -> 1o = (/) )
218	216, 217	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( A X. { (/) } ) -> 1o = (/) )
219	215, 218	mto 188	. . . . . . . . . 10 |- -. <. 1o , 1o >. e. ( A X. { (/) } )
220		nnord 7073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1o e. om -> Ord 1o )
221		ordirr 5741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord 1o -> -. 1o e. 1o )
222	206, 220, 221	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1o e. 1o
223		opelxp1 5150	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( 1o X. { 1o } ) -> 1o e. 1o )
224	222, 223	mto 188	. . . . . . . . . 10 |- -. <. 1o , 1o >. e. ( 1o X. { 1o } )
225	219, 224	pm3.2ni 899	. . . . . . . . 9 |- -. ( <. 1o , 1o >. e. ( A X. { (/) } ) \/ <. 1o , 1o >. e. ( 1o X. { 1o } ) )
226		elun 3753	. . . . . . . . 9 |- ( <. 1o , 1o >. e. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) <-> ( <. 1o , 1o >. e. ( A X. { (/) } ) \/ <. 1o , 1o >. e. ( 1o X. { 1o } ) ) )
227	225, 226	mtbir 313	. . . . . . . 8 |- -. <. 1o , 1o >. e. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) )
228		ssnelpss 3718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) C_ ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) -> ( ( <. 1o , 1o >. e. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) /\ -. <. 1o , 1o >. e. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) ) -> ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) C. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) ) )
229	213, 227, 228	mp2ani 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) C_ ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) -> ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) C. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) )
230	204, 229	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) C. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) )
231		cdaval 8992	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ 1o e. om ) -> ( A +c 1o ) = ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) )
232	4, 206, 231	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A +c 1o ) = ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) )
233		cdaval 8992	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ 2o e. om ) -> ( A +c 2o ) = ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) )
234	4, 191, 233	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A +c 2o ) = ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) )
235	232, 234	psseq12d 3701	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A +c 1o ) C. ( A +c 2o ) <-> ( ( A X. { (/) } ) u. ( 1o X. { 1o } ) ) C. ( ( A X. { (/) } ) u. ( 2o X. { 1o } ) ) ) )
236	230, 235	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( A +c 1o ) C. ( A +c 2o ) )
237		php3 8146	. . . . 5 |- ( ( ( A +c 2o ) e. Fin /\ ( A +c 1o ) C. ( A +c 2o ) ) -> ( A +c 1o ) ~< ( A +c 2o ) )
238	197, 236, 237	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( A +c 1o ) ~< ( A +c 2o ) )
239		canthp1lem1 9474	. . . . 5 |- ( 1o ~< A -> ( A +c 2o ) ~<_ ~P A )
240	1, 239	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A +c 2o ) ~<_ ~P A )
241		sdomdomtr 8093	. . . 4 |- ( ( ( A +c 1o ) ~< ( A +c 2o ) /\ ( A +c 2o ) ~<_ ~P A ) -> ( A +c 1o ) ~< ~P A )
242	238, 240, 241	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( A +c 1o ) ~< ~P A )
243		sdomnen 7984	. . 3 |- ( ( A +c 1o ) ~< ~P A -> -. ( A +c 1o ) ~~ ~P A )
244	242, 243	syl 17	. 2 |- ( ph -> -. ( A +c 1o ) ~~ ~P A )
245	11, 244	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   We wwe 5072   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   cardccrd 8761   +c ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  canthp1  9476