Theorem prmgaplem3 15757

Description: Lemma for prmgap 15763. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem3.a	|- A = { p e. Prime | p < N }

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem3	|- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )

Distinct variable groups:   x, A, y   N, p

Allowed substitution hints:   A( p)   N( x, y)

Proof of Theorem prmgaplem3

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { p e. Prime | p < N } C_ Prime
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> { p e. Prime | p < N } C_ Prime )
3		prmssnn 15390	. . . . 5 |- Prime C_ NN
4		nnssre 11024	. . . . 5 |- NN C_ RR
5	3, 4	sstri 3612	. . . 4 |- Prime C_ RR
6	2, 5	syl6ss 3615	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> { p e. Prime | p < N } C_ RR )
7		fzofi 12773	. . . 4 |- ( 0..^ N ) e. Fin
8		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( p = i -> ( p < N <-> i < N ) )
9	8	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( i e. { p e. Prime | p < N } <-> ( i e. Prime /\ i < N ) )
10		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. Prime -> i e. NN )
11	10	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( i e. Prime -> i e. NN0 )
12	11	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( i e. Prime /\ i < N ) ) -> i e. NN0 )
13		eluzge3nn 11730	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> N e. NN )
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( i e. Prime /\ i < N ) ) -> N e. NN )
15		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( i e. Prime /\ i < N ) ) -> i < N )
16		elfzo0 12508	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0..^ N ) <-> ( i e. NN0 /\ N e. NN /\ i < N ) )
17	12, 14, 15, 16	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( i e. Prime /\ i < N ) ) -> i e. ( 0..^ N ) )
18	17	ex 450	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( i e. Prime /\ i < N ) -> i e. ( 0..^ N ) ) )
19	9, 18	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( i e. { p e. Prime | p < N } -> i e. ( 0..^ N ) ) )
20	19	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> { p e. Prime | p < N } C_ ( 0..^ N ) )
21		ssfi 8180	. . . 4 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { p e. Prime | p < N } C_ ( 0..^ N ) ) -> { p e. Prime | p < N } e. Fin )
22	7, 20, 21	sylancr 695	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> { p e. Prime | p < N } e. Fin )
23		2prm 15405	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 e. Prime )
25		eluz2 11693	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) )
26		df-3 11080	. . . . . . . . . 10 |- 3 = ( 2 + 1 )
27	26	breq1i 4660	. . . . . . . . 9 |- ( 3 <_ N <-> ( 2 + 1 ) <_ N )
28		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
29		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
30	28, 29	mpan 706	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( 2 < N <-> ( 2 + 1 ) <_ N ) )
31	30	biimprd 238	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 + 1 ) <_ N -> 2 < N ) )
32	27, 31	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( 3 <_ N -> 2 < N ) )
33	32	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
34	33	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 3 <_ N ) -> 2 < N )
35	25, 34	sylbi 207	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < N )
36		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( p = 2 -> ( p < N <-> 2 < N ) )
37	36	elrab 3363	. . . . 5 |- ( 2 e. { p e. Prime | p < N } <-> ( 2 e. Prime /\ 2 < N ) )
38	24, 35, 37	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 e. { p e. Prime | p < N } )
39		ne0i 3921	. . . 4 |- ( 2 e. { p e. Prime | p < N } -> { p e. Prime | p < N } =/= (/) )
40	38, 39	syl 17	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> { p e. Prime | p < N } =/= (/) )
41		prmgaplem3.a	. . . 4 |- A = { p e. Prime | p < N }
42		sseq1 3626	. . . . 5 |- ( A = { p e. Prime | p < N } -> ( A C_ RR <-> { p e. Prime | p < N } C_ RR ) )
43		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( A = { p e. Prime | p < N } -> ( A e. Fin <-> { p e. Prime | p < N } e. Fin ) )
44		neeq1 2856	. . . . 5 |- ( A = { p e. Prime | p < N } -> ( A =/= (/) <-> { p e. Prime | p < N } =/= (/) ) )
45	42, 43, 44	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( A = { p e. Prime | p < N } -> ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) <-> ( { p e. Prime | p < N } C_ RR /\ { p e. Prime | p < N } e. Fin /\ { p e. Prime | p < N } =/= (/) ) ) )
46	41, 45	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) <-> ( { p e. Prime | p < N } C_ RR /\ { p e. Prime | p < N } e. Fin /\ { p e. Prime | p < N } =/= (/) ) )
47	6, 22, 40, 46	syl3anbrc 1246	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) )
48		fimaxre 10968	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin /\ A =/= (/) ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )
49	47, 48	syl 17	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 3 ) -> E. x e. A A. y e. A y <_ x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmgaplem5  15759